Nachweisen durch Rechenregeln < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Rechenregeln für Rechnen mit bestimmten Integralen:
1. [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0
[/mm]
2. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x)dx}=\integral_{a}^{c}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] 3.\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] 4.\integral_{a}^{b}{k*f(x) dx}=k*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] 5.\integral_{a}^{b}{(f(x)+g(x)) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{a}^{b}{g(x) dx}
[/mm]
Weise durch diese Rechenregeln nach,dass...
a) [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0,falls [/mm] f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
[mm] b)\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=2*\integral_{0}^{a}{f(x) dx},falls [/mm] f achsensymmetrisch zur y-Achse ist. |
Hallo^^
Ich hab da ein kleines Problemschen mit dieser Aufgabe.
Ich soll ja a und b nachweisen durch die Rechenregeln,die oben stehen.
Im Kopf ist mir klar,warum a) und b) gelten,das ist logisch,aber ich weiß nicht genau wie ich das durch die obenstehenden Rechenregeln nachweisen soll.
Bei der a) z.B. kann man ja schreiben [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx}= \integral_{-a}^{a}{f(x) dx},aber [/mm] damit ist es doch nicht nachgewiesen oder?
Wie kann ich das denn durch diese Regeln oben nachweisen?
Bin dankbar für jede Hilfe...
lg
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> Rechenregeln für Rechnen mit bestimmten Integralen:
>
> 1. [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
>
> 2. [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x)dx}=\integral_{a}^{c}{f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]3.\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]4.\integral_{a}^{b}{k*f(x) dx}=k*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]5.\integral_{a}^{b}{(f(x)+g(x)) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]
>
> Weise durch diese Rechenregeln nach,dass...
>
> a) [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0,falls[/mm] f punktsymmetrisch
> zum Ursprung ist.
>
> [mm]b)\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=2*\integral_{0}^{a}{f(x) dx},falls[/mm]
> f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
> Hallo^^
>
> Ich hab da ein kleines Problemschen mit dieser Aufgabe.
> Ich soll ja a und b nachweisen durch die Rechenregeln,die
> oben stehen.
> Im Kopf ist mir klar,warum a) und b) gelten,das ist
> logisch,aber ich weiß nicht genau wie ich das durch die
> obenstehenden Rechenregeln nachweisen soll.
> Bei der a) z.B. kann man ja schreiben
> [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}= \integral_{-a}^{a}{f(x) dx},aber[/mm]
> damit ist es doch nicht nachgewiesen oder?
>
> Wie kann ich das denn durch diese Regeln oben nachweisen?
>
> Bin dankbar für jede Hilfe...
>
> lg
Also ich würde Folgendes sagen:
Erst einmal können wir gefahrlos die Regel 2 anwenden, aber umgekehrt, das heißt, wir spalten das Integral auf:
[mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
Damit haben wir das Integral schon einmal aufgespalten. Da sie punktsymmetrisch ist, und die Grenze beide male die Zahl a darstellt, sind die Integrale dann eben auch 0, das is ja klar, aber ich denke, die Aufspaltung reicht schon.
Das is natürlich nicht so ein super Beweis, aber ich denke, es geht nur darum, aus den Regeln eben sofort solche "logischen" Fälle zu sehen. Man könnte sicherlich auch sagen, dass bei einer punktsymmetrischen Funktion die Grenze a als Betrag gesehen werden kann, also dass die Zahl a bei der Funktion die selben Werte bewirkt, ob positiv oder negativ, und daherk ann Regel 1. angewandt werden ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 29.08.2008 | | Autor: | abakus |
> > Rechenregeln für Rechnen mit bestimmten Integralen:
> >
> > 1. [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
> >
> > 2. [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x)dx}=\integral_{a}^{c}{f(x) dx}[/mm]
>
> >
> > [mm]3.\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
Hallo, das stimmt nicht. Bei einem der Integrale musst du a und b vertauschen.
>
> >
> > [mm]4.\integral_{a}^{b}{k*f(x) dx}=k*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> >
> > [mm]5.\integral_{a}^{b}{(f(x)+g(x)) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]
>
> >
> > Weise durch diese Rechenregeln nach,dass...
> >
> > a) [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0,falls[/mm] f punktsymmetrisch
> > zum Ursprung ist.
> >
> > [mm]b)\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=2*\integral_{0}^{a}{f(x) dx},falls[/mm]
> > f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
> > Hallo^^
> >
> > Ich hab da ein kleines Problemschen mit dieser Aufgabe.
> > Ich soll ja a und b nachweisen durch die
> Rechenregeln,die
> > oben stehen.
> > Im Kopf ist mir klar,warum a) und b) gelten,das ist
> > logisch,aber ich weiß nicht genau wie ich das durch die
> > obenstehenden Rechenregeln nachweisen soll.
> > Bei der a) z.B. kann man ja schreiben
> > [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}= \integral_{-a}^{a}{f(x) dx},aber[/mm]
> > damit ist es doch nicht nachgewiesen oder?
> >
> > Wie kann ich das denn durch diese Regeln oben nachweisen?
> >
> > Bin dankbar für jede Hilfe...
> >
> > lg
>
>
> Also ich würde Folgendes sagen:
>
> Erst einmal können wir gefahrlos die Regel 2 anwenden, aber
> umgekehrt, das heißt, wir spalten das Integral auf:
>
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
>
> Damit haben wir das Integral schon einmal aufgespalten. Da
> sie punktsymmetrisch ist, und die Grenze beide male die
> Zahl a darstellt, sind die Integrale dann eben auch 0, das
> is ja klar, aber ich denke, die Aufspaltung reicht schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,gut,ich hab die a) auch nochmal gemacht und bin auf folgendes gekommen:
[mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0=F(a)-F(a)=0
[/mm]
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0=F(-a)-F(a)=0
[/mm]
F(a)-F(a)=F(-a)-F(a)
F(a)=F(-a)
Damit ist ja die Aussage eigentlich bewiesen,aber ich finde dass "f punktsymmetrisch zum Ursprung ist" kommt dabei nicht wirklich zum Vorschein.Kann man das nicht noch irgendwie mit einbeziehen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 29.08.2008 | | Autor: | abakus |
> okay,gut,ich hab die a) auch nochmal gemacht und bin auf
> folgendes gekommen:
>
> [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0=F(a)-F(a)=0[/mm]
>
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0=F(-a)-F(a)=0[/mm]
>
> F(a)-F(a)=F(-a)-F(a)
> F(a)=F(-a)
>
> Damit ist ja die Aussage eigentlich bewiesen,aber ich finde
> dass "f punktsymmetrisch zum Ursprung ist" kommt dabei
> nicht wirklich zum Vorschein.Kann man das nicht noch
> irgendwie mit einbeziehen ?
Für punktsymmetrische Funktionen gilt doch f(x)=-f(-x)
Wenn du auf beiden Seiten integrierst, erhältst du F(x)=-F(-x).
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > okay,gut,ich hab die a) auch nochmal gemacht und bin auf
> > folgendes gekommen:
> >
> > [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0=F(a)-F(a)=0[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0=F(-a)-F(a)=0[/mm]
> >
> > F(a)-F(a)=F(-a)-F(a)
> > F(a)=F(-a)
> >
> > Damit ist ja die Aussage eigentlich bewiesen,aber ich finde
> > dass "f punktsymmetrisch zum Ursprung ist" kommt dabei
> > nicht wirklich zum Vorschein.Kann man das nicht noch
> > irgendwie mit einbeziehen ?
>
>
> Für punktsymmetrische Funktionen gilt doch f(x)=-f(-x)
> Wenn du auf beiden Seiten integrierst, erhältst du
> F(x)=-F(-x).
Was meinst du mit "auf beiden Seiten integrieren" ?Das versteh ich nicht so ganz.
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Hallo,
auf beiden Seiten integrieren bedeutet, dass auf beiden Seiten der Gleichung integriert wird:
f punktsymmetrisch ist gleichbedeutend mit
$f(x)=-f(-x)$ für alle x. Das hast du ja als Voraussetzung gegeben.
Jetzt wird auf beiden Seiten integriert, was auf die Gleichung
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx} [/mm] führt.
Regel 2 angewandt splittet die rechte Seite auf in:
[mm] \integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}.
[/mm]
Dann noch Regel 3 für die Vertauschung der Grenzen:
[mm] -\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}=0 [/mm] wie man sofort sieht.
LG,
Andreas
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:43 Sa 30.08.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}[/mm]
> führt.
> Regel 2 angewandt splittet die rechte Seite auf in:
> [mm]\integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}.[/mm]
>
> Dann noch Regel 3 für die Vertauschung der Grenzen:
> [mm]-\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}=0[/mm]
> wie man sofort sieht.
Hallo,
ich denke, daß Mandy das nicht "sofort sehen" soll, sondern bis zum bitteren Ende unter Berufung auf die Regeln durchziehen - aber dieser Job kann für Mandy bleiben!
Auf jeden Fall soll hier nicht mit Stammfunktionen rumgewurschtelt werden, sondern streng mit den Regeln gegebenen Regeln.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> auf beiden Seiten integrieren bedeutet, dass auf beiden
> Seiten der Gleichung integriert wird:
>
> f punktsymmetrisch ist gleichbedeutend mit
> [mm]f(x)=-f(-x)[/mm] für alle x. Das hast du ja als Voraussetzung
> gegeben.
> Jetzt wird auf beiden Seiten integriert, was auf die
> Gleichung
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}[/mm]
> führt.
> Regel 2 angewandt splittet die rechte Seite auf in:
> [mm]\integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}.[/mm]
>
> Dann noch Regel 3 für die Vertauschung der Grenzen:
> [mm]-\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}=0[/mm]
werden im ersten Integral die Grenzen -a (unten) und 0 (oben) vertauscht,
dann hat man doch neu die Grenzen 0 (unten) und -a (oben) !
wie man sofort sieht.
> wie man sofort sieht.
>
> LG,
> Andreas
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:44 Sa 30.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}.[/mm]
> Dann noch Regel 3 für die Vertauschung der Grenzen:
> [mm]-\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}+\integral_{0}^{a}{-f(-x) dx}=0[/mm]
dito... seh auch nich warum das nur ein "kleiner fehler" ist, es führt imho überhaupt nicht näher an die Lösung...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 30.08.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich denke, dass es unmöglich ist, Teilaufgabe a) nur mit diesen Rechenregeln zu beweisen. Denn ohne die Punktsymmetrie ist die Aussage offensichtlich falsch und die Eigenschaft der Punktsymmetrie ließe sich nur durch Substitution wie $z=-x$ oder "Stammfunktions-gewurschtel" ausnutzen. Das ist natürlich kein Beweis, dass es tatsächlich unmöglich ist, aber ich wollte die Möglichkeit nur mal in den Raum stellen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Sa 30.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nutze 5 aus.
mit f(x)=g(x)+k(x)
und g(x)=f(|x|) fuer [mm] x\ge0 [/mm] und 0 fuer [mm] x\le0
[/mm]
h(x)=-f(|x|) fuer x [mm] \le0 [/mm] und 0 sonst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 31.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab :
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{g(x)+k(x) dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(|x|)-f(|x|) dx}=\integral_{-a}^{a}{0 dx}=0
[/mm]
aber offensichtlich hab ich keine der Regeln benutzt. sorry
Gruss leduart
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> Hallo
> ich hab :
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{a}{g(x)+k(x) dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(|x|)-f(|x|) dx}=\integral_{-a}^{a}{0 dx}=0[/mm]
>
> aber offensichtlich hab ich keine der Regeln benutzt.
Hallo,
Du hattest in deiner Mitteilung g und k definert und festgestellt f=g+k. Das gibt [mm] f(x)=\begin{cases} f(|x|), & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ } \\ -f(|x|), & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Es ergibt jedoch nicht f(x)= f(|x|)- f(|x|)=0, was Du verwendet hast.
Gruß v. Angela
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> Das Grundsätzliche Problem bleibt doch... dass man mit den
> Rechenregeln keinen Zugriff auf die Integrationsgrenzen
> hat, aber vielleicht peil ichs grad auch echt einfach
> nicht... 
Hallo,
ich denk' schon, daß Du das peiltst: allein mit den Regeln ist das nicht zu machen, man braucht eine Substitution oder so.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 So 31.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Weisen Sie durch Anwenden der Rechenregeln die Regeln a) und b) nach. |
Hallo,erst mal danke für eure schnellen Antworten,aber ich glaube ich hab alles mit meiner selbst formulierten Aufgabenstellung etwas durcheinander gebracht.Die richtige Aufgabenstellung steht oben nochmal.Das heißt doch dann,dass man nicht NUR diese Rechenregeln benutzen muss oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 So 31.08.2008 | | Autor: | Adamantin |
Also da diese Aufgabe - nehme ich mal an - direkt nach oder unten disen Integralregeln steht und die Überschrift für die Integralregeln Rechenregeln für Integrale lautet, so kann man mit 99,9% Sicherheit davon ausgehen, dass sie nur die obigen Regeln benutzt sehen wollen ^^
Alles andere, was hier gepostet wurde, wäre auch viel zu weitführend und kompliziert, um sie in deinem jetzigen Stadium oder in der Schule mal eben anzuwenden. Also ganz sicher ist keine Substiution oder dergleichen gefragt. Wie Schulbuchaufgaben meistens sind, so sind es fast nie 100% dichte mathematische Beweise, sondern wie ich oben schon sagte, will man, dass ihr über die Regeln etwas nachdenkt und auch mathematisch seht, warum etwas rational logisch ist, und ich denke, dafür reichen unsere Ansätze mit aufsplitten in zwei Intervalle (-a bis 0;0 bis a) oder eben -f(-x), aber du wirst keine seitenlange Beweise schreiben müssen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 31.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> ist, und ich denke, dafür reichen unsere Ansätze mit
> aufsplitten in zwei Intervalle (-a bis 0;0 bis a) oder eben
> -f(-x), aber du wirst keine seitenlange Beweise schreiben
> müssen.
ok,ich schreibs jetzt nochmal hin,um mir mal Klarheit zu verschaffen.Wenn ich [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] aufsplittere,hab ich ja [mm] \integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}, [/mm] dann hab ich da stehn: F(0)-F(-a)=-F(-a) und F(a)-F(0)=F(-a),also ist F(a)-F(-a)=-F(-a)+F(a)=0. Wenn ichs also aufsplittere kommt am Ende 0 raus.
Jetzt nehm ich anstatt f(x) -f(-x),also hab ich [mm] \integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}
[/mm]
Wenn ich das berechne hab ich -F(-a)--F(a)=-F(-a)+F(a).
Jetzt splittere ich das auch auf und hab [mm] \integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}+\integral_{a}^{0}{-f(-x) dx}.dann [/mm] berechne ich die beiden und hab
-F(-0)--F(a)+-F(-a)--F(-0)
=-F(-0)+F(a)-F(a)-F(-a)+F(-0)
Wenn ich jetzt das unaufgesplitterte und das aufgesplitterete Integral gleichsetze hab ich -F(-a)+F(a)=F(a)-F(-a) und das ganze ergibt =0.
Ist es damit jetzt einigermaßen bewiesen?^^
LG
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> > ist, und ich denke, dafür reichen unsere Ansätze mit
> > aufsplitten in zwei Intervalle (-a bis 0;0 bis a) oder eben
> > -f(-x), aber du wirst keine seitenlange Beweise schreiben
> > müssen.
>
> ok,ich schreibs jetzt nochmal hin,um mir mal Klarheit zu
> verschaffen.Wenn ich [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
> aufsplittere,hab ich ja [mm]\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx},[/mm]
> dann hab ich da stehn: F(0)-F(-a)=-F(-a)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es muss nicht F(0)=0 sein.
und
> F(a)-F(0)=F(-a),also ist F(a)-F(-a)=-F(-a)+F(a)=0. Wenn
> ichs also aufsplittere kommt am Ende 0 raus.
> Jetzt nehm ich anstatt f(x) -f(-x),also hab ich
> [mm]\integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}[/mm]
> Wenn ich das berechne hab
> ich -F(-a)--F(a)=-F(-a)+F(a).
Von -f(-x) ist die Stammfunktion F(-x), nicht -F(-x) (vgl. hierzu meine Lösung).
> Jetzt splittere ich das auch auf und hab
> [mm]\integral_{-a}^{0}{-f(-x) dx}+\integral_{a}^{0}{-f(-x) dx}.dann[/mm]
> berechne ich die beiden und hab
> -F(-0)--F(a)+-F(-a)--F(-0)
> =-F(-0)+F(a)-F(a)-F(-a)+F(-0)
> Wenn ich jetzt das unaufgesplitterte und das
> aufgesplitterete Integral gleichsetze hab ich
> -F(-a)+F(a)=F(a)-F(-a) und das ganze ergibt =0.
>
> Ist es damit jetzt einigermaßen bewiesen?^^
>
> LG
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Das Problem lässt sich eigentlich nur mit Hilfe der Substitution lösen, wie schon andere angedeutet haben. Dies kann man aber mit Hilfe der Kettenregel verhindern:
Es ist (F(-x))' = F'(-x)*(-1)(die -1 ist die innere Ableitung von -x)=-F'(-x)=-f(-x) und damit
(-F(-x))' = -(F(-x))'=-F'(-x)*(-1)=F'(-x)=f(-x)
unabhängig davon, ob f eine Symmetrie aufweist oder nicht.
Die Stammfunktion von f(-x) ist somit -F(-x). (Regel *)
Diese Eigenschaft wird benötigt. Begründung: Da die Symmetrie ins Spiel kommt, wobei das Funtionsargumment irgendwo auch -x heißt, ist ein solcher oder ähnlicher Zusammenhang unumgänglich.
a)Falls f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt:
f(x)=-f(-x) und damit (von beiden Seiten die Stammfkt. gebildet)
F(x)=-(-F(-x))=F(-x).
F ist dann symmetrisch zur y-Achse.
Damit wird
[mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}= F(0)-F(-a)+F(a)-F(0)=-F(-a)+F(a)=-F(a)+F(a)=0[/mm].
b)Falls f symmetrisch zur y-Achse ist, gilt:
f(x)=f(-x) und damit (von beiden Seiten die Stammfkt. gebildet)
F(x)=-F(-x).
F ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.
Damit wird
[mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}= F(0)-F(-a)+F(a)-F(0)=-F(-0)+F(+a)+F(a)-F(0)=2*(F(a)-F(0))=2*\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm].
Wegen Regel * war eine Substitution nicht nötig. Ich will diese aber hier noch kurz zeigen:
Man ersetzt in [mm] \integral_{-a}^{0}{f(x) dx} [/mm] x durch -t und erhält (wobei manauch -a durch a ersetzen muss):
...= [mm] \integral_{a}^{0}{f(-t) d(-t)}=-\integral_{a}^{0}{f(-t) dt}=\integral_{0}^{a}{f(-t) dt}. [/mm] Nun ersetzt man je nach Eigenschaft f(-t) durch f(t) oder durch -f(t) und stellt fest, dass das Integral denselben positiven oder negativen Wert wie das zweite Integral hat, sich mit diesem also verdoppelt oder aufhebt.
Das einzige Problem besteht nur darin, zu "glauben", dass d(-t) =-dt ist.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:27 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
> Das Problem lässt sich eigentlich nur mit Hilfe der
> Substitution lösen, wie schon andere angedeutet haben. Dies
> kann man aber mit Hilfe der Kettenregel verhindern:
>
> Es ist (F(-x))' = F'(-x)*(-1)(die -1 ist die innere
> Ableitung von -x)=-F'(-x)=-f(-x) und damit
> (-F(-x))' = -(F(-x))'=-F'(-x)*(-1)=F'(-x)=f(-x)
> unabhängig davon, ob f eine Symmetrie aufweist oder
> nicht.
>
> Die Stammfunktion von f(-x) ist somit -F(-x). (Regel *)
>
> Diese Eigenschaft wird benötigt. Begründung: Da die
> Symmetrie ins Spiel kommt, wobei das Funtionsargumment
> irgendwo auch -x heißt, ist ein solcher oder ähnlicher
> Zusammenhang unumgänglich.
>
> a)Falls f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt:
> f(x)=-f(-x) und damit (von beiden Seiten die Stammfkt.
> gebildet)
> F(x)=-(-F(-x))=F(-x).
> F ist dann symmetrisch zur y-Achse.
>
> Damit wird
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}= F(0)-F(-a)+F(a)-F(0)=-F(-a)+F(a)=-F(a)+F(a)=0[/mm].
oder? Diesen Teil verstehe ich vielleicht auch einfach nicht, obwohl ich mich bemüht habe, deinen Beitrag mehrmals durchzulesen, aber ich sehe nicht, warum -F(-a) = -F(a) sein soll
>
> b)Falls f symmetrisch zur y-Achse ist, gilt:
> f(x)=f(-x) und damit (von beiden Seiten die Stammfkt.
> gebildet)
> F(x)=-F(-x).
> F ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.
>
> Damit wird
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}+\integral_{0}^{a}{f(x) dx}= F(0)-F(-a)+F(a)-F(0)=-F(-0)+F(+a)+F(a)-F(0)=2*(F(a)-F(0))=2*\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm].
>
> Wegen Regel * war eine Substitution nicht nötig. Ich will
> diese aber hier noch kurz zeigen:
>
> Man ersetzt in [mm]\integral_{-a}^{0}{f(x) dx}[/mm] x durch -t und
> erhält (wobei manauch -a durch a ersetzen muss):
>
> ...= [mm]\integral_{a}^{0}{f(-t) d(-t)}=-\integral_{a}^{0}{f(-t) dt}=\integral_{0}^{a}{f(-t) dt}.[/mm]
> Nun ersetzt man je nach Eigenschaft f(-t) durch f(t) oder
> durch -f(t) und stellt fest, dass das Integral denselben
> positiven oder negativen Wert wie das zweite Integral hat,
> sich mit diesem also verdoppelt oder aufhebt.
>
> Das einzige Problem besteht nur darin, zu "glauben", dass
> d(-t) =-dt ist.
>
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 13:51 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Adamantin!
> oder? Diesen Teil verstehe ich vielleicht auch
> einfach nicht, obwohl ich mich bemüht habe, deinen Beitrag
> mehrmals durchzulesen, aber ich sehe nicht, warum -F(-a) =
> -F(a) sein soll
Hier wird eine der genannten Rechenregeln verwandt mit [mm] $\integral_a^a{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:58 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ja danke, irgendwie überfordert mich das Thema langsam, ich hatte übersehen, dass gilt F(x)=F(-x) oh man...na dann ist ja alles klar :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Die Lösung ist schon richtig soweit ich das seh, aber im Grunde hast du auch substituiert, denn Substitution IST die Kettenregel, nur andersrum
@Adamantin: Er hat doch gezeigt, dass [mm] $f(x)=-f(-x)\Rightarrow [/mm] F(-x)=F(x)$ gilt. Die Stammfunktion einer ungeraden Funktion ist gerade.
@Loddar: Das sehe ich nicht so: [mm] $-F(-a)=-F(a)\gdw F(a)-F(-a)=0\gdw \int_{-a}^a [/mm] f(x)\ dx=0$.
btw: Warum kann ich auf eure Mitteilungen eigentlich nur mit ner PM reagieren?!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Erst mal dankeschön an euch alle,dass ihr euch die Mühe gemacht habt,euch mit dieser Aufgabe zu beschäftigen.
Wir haben die Aufgabe heute besprochen und für unser jetziges Niveau hat schon der "Beweis" von Adamantin ausgereicht.Alles andere ist viel zu kompliziert.
Die Aufgabe hat es aber schon in sich,denn auch unser Lehrer konnte zunächst keinen richtigen mathemetischen Beweis finden (das nur mal am Rande erwähnt).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Und leider wirst du diese Erfahrung immer wieder mit vielen Oberstufenlehrern machen, vor allem im Zuge des Zentralabiturs. Auch ich bin weit entfernt vom verständnis der meisten hier, die ja dann doch Mathestudenten oder selbst Lehrer sind, aber genau das, was du jetzt erfahren hast, habe ich selbst hinter mir, dass die meisten Mathelehrer mit tiefergehenden Beweisen auch nicht wirklich zurechtkommen (jeder hier natürlich ausgenommen, aber die Erfahrung kennen wir ja alle)
Ich finde das vor allem bei LK-Lehrern schade, da Beweise das mathematische Verständnis enorm vertiefen und erweitern können daher einmal ein Lob an alle hier, die sich damit beschäftigen, auskennen und ihr Wissen vermitteln
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Und leider wirst du diese Erfahrung immer wieder mit vielen
> Oberstufenlehrern machen, vor allem im Zuge des
> Zentralabiturs. Auch ich bin weit entfernt vom verständnis
> der meisten hier, die ja dann doch Mathestudenten oder
> selbst Lehrer sind, aber genau das, was du jetzt erfahren
> hast, habe ich selbst hinter mir, dass die meisten
> Mathelehrer mit tiefergehenden Beweisen auch nicht wirklich
> zurechtkommen (jeder hier natürlich ausgenommen, aber die
> Erfahrung kennen wir ja alle)
>
> Ich finde das vor allem bei LK-Lehrern schade, da Beweise
> das mathematische Verständnis enorm vertiefen und erweitern
> können daher einmal ein Lob an alle hier, die sich damit
> beschäftigen, auskennen und ihr Wissen vermitteln
Andererseits... Die LK-Lehrer sind doch (leider) nur dafür da den Leuten den Abistoff reinzuprügeln, und dafür braucht man nunmal keine tiefen Beweise. An meiner Schule gab es nen Mathelehrer, der hatte nen Dr. in Mathematik. Der hat die Leute auch eher verwirrt als erleuchtet...
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