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| Aufgabe | 1. (a) Sei S = {x1, x2, . . . , xn} ein linear unabhäangiges System von Vektoren des n-dimensionalen
Vektorraumes V . Zeige, dass S eine Basis von V ist. |
Im Grunde liegt die Lösung ja auf der Hand, in einem n dimensionalen Vektorraum besteht die Basis aus n linear unabhängigen Vektoren.
Nur den Beweis krieg ich nich hin.
Ich hab jetzt probiert das ganze mal über Widerspruch zu veruschen, soll heißen:
Annahme:
S sei kein Erzeugendensystem von V
d.h. es gibt ein x in V welches nicht in Span S ist.
d.h. [mm] x \not= \summe_{i=1}^{n} a_{i} x_{i} [/mm]
d.h. [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} x_{i} + c x = 0 [/mm]
Jetzt wieß ich nciht wie ich zeigen kann, dass eine andere Lösung neben der das alle Skalare = 0 sind existiert.
Wäre da für jede ANregung dankbar.:)
Bis Denn!
Powerlocke
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> 1. (a) Sei S = {x1, x2, . . . , xn} ein linear
> unabhäangiges System von Vektoren des n-dimensionalen
> Vektorraumes V . Zeige, dass S eine Basis von V ist.
> Im Grunde liegt die Lösung ja auf der Hand, in einem n
> dimensionalen Vektorraum besteht die Basis aus n linear
> unabhängigen Vektoren.
> Nur den Beweis krieg ich nich hin.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn V n-dimensional ist, gibt es eine Basis [mm] \{a_1,...,a_n\}.
[/mm]
Nun kannst Du auf diese Basis und Deine linear unabhängigen [mm] \{x_1,...,x_n\} [/mm] den Austauschsatz von Steinitz anwenden.
Gruß v. Angela
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