matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieNäherung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Zahlentheorie" - Näherung
Näherung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Näherung: Warum gilt diese
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Sa 25.10.2014
Autor: yonca

Hallo,

und zwar weiß ich nicht genau, ob diese Frage in das Forum über Zahlentheorie gehört, weiß aber nicht genau wo ich die Frage sonst posten soll.
Also ich habe in meinem Text folgende Näherung gefunden

[mm] \left(1-\bruch{1}{p^n} \right)^{\bruch{N-1}{n}} \approx [/mm] 1- [mm] \bruch{N-1}{np^n} [/mm]

Dabei sind N und p Primzahlen und n ist die kleinste natürliche Zahl für die

[mm] p^n \equiv [/mm] 1 (mod N)

gilt.
Meine Frage dazu ist einfach: wie kann man diese Näherung begründen? Das ist mir nicht ganz klar? Kann mir jemand einen Tipp dazu geben?

Viele Grüße
Yonca

        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 25.10.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> und zwar weiß ich nicht genau, ob diese Frage in das Forum
> über Zahlentheorie gehört, weiß aber nicht genau wo ich
> die Frage sonst posten soll.
>  Also ich habe in meinem Text folgende Näherung gefunden
>  
> [mm]\left(1-\bruch{1}{p^n} \right)^{\bruch{N-1}{n}} \approx\ 1- \ \bruch{N-1}{np^n}[/mm]
>  
> Dabei sind N und p Primzahlen und n ist die kleinste
> natürliche Zahl für die
>
> [mm]p^n \equiv[/mm] 1 (mod N)
>  
> gilt.
> Meine Frage dazu ist einfach: wie kann man diese Näherung
> begründen? Das ist mir nicht ganz klar? Kann mir jemand
> einen Tipp dazu geben?
>  
> Viele Grüße
>  Yonca


Hallo Yonca,

in die Zahlentheorie gehört die Frage natürlich nur am
Rand. Effektiv geht es im Detail eher um eine Frage im
Bereich Algebra / Analysis.

Genauer:  es geht um die Näherung

     $\ [mm] (1\,+\,a)^k\ \approx\ 1\,+\,k*a$ [/mm]

(unter der Voraussetzung, dass  $\ [mm] |a|\ll [/mm] 1$ )

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Sa 25.10.2014
Autor: reverend

Hallo Yonca,

die Abschätzung sollte Dich an die []Bernoullische Ungleichung erinnern.

Zu zeigen ist die Abschätzung leicht über die binomische Formel für höhere Potenzen, sofern über Al-Chwarizmis Angaben hinaus vor allem [mm] |a*k|\ll{1} [/mm] gilt.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Näherung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 So 26.10.2014
Autor: yonca

Hallo nochmal,
vielen Dank schon mal für die Antworten. Leider komme ich aber noch nicht ganz zurecht. Wenn ich die Bernoullische Ungleichung anwende, erhalte ich ja die folgende Ungleichung
[mm] \left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{\bruch{N-1}{n}} \ge 1-\bruch{N-1}{np^n} [/mm]

Hierbei hätten wir ja genau dann Gleichheit, wenn entweder  [mm] -\bruch{1}{p^n}=0 [/mm] wäre (was ja nicht sein kann) oder aber [mm] \bruch{N-1}{n}=1 [/mm] ist.

Aber wie kann ich begründen, dass eben beide Seiten der (Un)gleichung ungefähr gleich sind.
Kann mir vielleicht jemand nocheinmal weiterhelfen?
Gruß
Yonca!

Bezug
                        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 So 26.10.2014
Autor: abakus


> Hallo nochmal,
> vielen Dank schon mal für die Antworten. Leider komme ich
> aber noch nicht ganz zurecht. Wenn ich die Bernoullische
> Ungleichung anwende, erhalte ich ja die folgende
> Ungleichung
> [mm]\left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{\bruch{N-1}{n}} \ge 1-\bruch{N-1}{np^n}[/mm]

>

> Hierbei hätten wir ja genau dann Gleichheit, wenn entweder
> [mm]-\bruch{1}{p^n}=0[/mm] wäre (was ja nicht sein kann) oder aber
> [mm]\bruch{N-1}{n}=1[/mm] ist.

>

> Aber wie kann ich begründen, dass eben beide Seiten der
> (Un)gleichung ungefähr gleich sind.

Hallo,
so lange kein Kriterium angegeben wird, ab welcher Genauigkeit man von "ungefähr gleich" sprechen will, ist diese Frage relativ sinnlos.
Aber: da (N-1)/n eine natürliche Zahl (nennen wir sie k) ist, kannst du den Term [mm]\left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{\bruch{N-1}{n}} =\left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{k}[/mm]nach dem binomischen Satz ausmultiplizieren.
Die ersten beiden Summenden sind dann [mm] 1-\bruch{N-1}{np^n}[/mm] bzw. [mm] 1-\bruch{k}{p^n}[/mm] wie in der Abschätzung, und die folgenden Summanden haben einen ständigen Vorzeichenwechsel und werden zudem im Nenner immer größer (und zwar tendenziell schneller, als der Zähler durch zunächst wachsende Binomialkoeffizienten wächst.
Gruß Abakus

> Kann mir vielleicht jemand nocheinmal weiterhelfen?
> Gruß
> Yonca!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]