Näherung einer Bew.Gleichung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Do 10.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo liebes Forum,
ich habe folgende Bewegungsgleichung:
[mm] $0=2m\ddot\theta+m_2\ddot\phi\cos(\theta-\phi)+m\dot\phi^2\sin(\theta-\phi)+\bruch{g}{l}*2m\sin(\theta)=0$ [/mm] (1. Bewegungsgleichung beim Doppelpendel für [mm] $m_1=m_2=m$ [/mm] und [mm] $l_1=l_2=l$) [/mm]
Ausgehend von nur kleinen Auslenkungen muss man ja um diese Gleichung zu lösen Nährungen machen.
Ich weiß zwar , welche Näherungen gemacht werden sollen würde aber gerne zu Übungszwecken selber "drauf" kommen.
Ich würde jetzt versuchen, diese Gleichung mit Taylor bis zur 1. Ordnung zu entwickeln. Aber da habe ich schon meine Schwierigkeiten. Das ist doch jetzt eigentlich eine Funktion mit 5 Variablen? Den Winkeln und deren Ableitungen..
Weiß leider nicht genau, wie ich jetzt ansetzen sollte.
Würde mich über Hilfe freuen :)
Vielen Dank und lg!
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Hallo nhard,
> Hallo liebes Forum,
>
> ich habe folgende Bewegungsgleichung:
>
> [mm]0=2m\ddot\theta+m_2\ddot\phi\cos(\theta-\phi)+m\dot\phi^2\sin(\theta-\phi)+\bruch{g}{l}*2m\sin(\theta)=0[/mm]
> (1. Bewegungsgleichung beim Doppelpendel für [mm]m_1=m_2=m[/mm] und
> [mm]l_1=l_2=l[/mm])
>
> Ausgehend von nur kleinen Auslenkungen muss man ja um diese
> Gleichung zu lösen Nährungen machen.
> Ich weiß zwar , welche Näherungen gemacht werden sollen
> würde aber gerne zu Übungszwecken selber "drauf" kommen.
>
> Ich würde jetzt versuchen, diese Gleichung mit Taylor bis
> zur 1. Ordnung zu entwickeln. Aber da habe ich schon meine
> Schwierigkeiten. Das ist doch jetzt eigentlich eine
> Funktion mit 5 Variablen? Den Winkeln und deren
> Ableitungen..
>
> Weiß leider nicht genau, wie ich jetzt ansetzen sollte.
>
Hier musst Du die nichtlinearen Terme
[mm]\sin\left(\theta-\phi\right), \ \cos\left(\theta-\phi\right), \ \sin\left(\theta\right)[/mm]
um [mm]\theta_{0}=0[/mm] linearisieren,
d.h. das Taylorpolynom 1. Ordnung bilden.
> Würde mich über Hilfe freuen :)
>
> Vielen Dank und lg!
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Fr 11.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch 2 gekoppelte Dgl. haben?
ich denke nicht, dass du auch für kleine Ausschläge eine nicht numerische lösung findest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 17.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
vielen Dank für euere Antworten!
> Hallo
> Du musst doch 2 gekoppelte Dgl. haben?
jop, habe ich auch, aber ging mir vor allem um die Näherungen
> ich denke nicht, dass du auch für kleine Ausschläge eine
> nicht numerische lösung findest.
> Gruss leduart
>
Also wenn man die Näherungen macht dass [mm] $\sin(a)=a$ $\cos(a)=1$ [/mm] und alle quadratischen Terme wegfallen erhält man 2 DGL der Form:
[mm] $0&=&\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta+\frac{1}{2}\ddot{\phi}$
[/mm]
[mm] $0=\ddot{\phi}+\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\phi$
[/mm]
die man lösen kann.
Die Näherung für sin und cos kann ich gut nachvollziehen. Aber gerade dass mit den quadratischen Termen will mir noch nicht so ganz verständlich werden.
Vielleicht ist dieses Beispiel besser:
Ich habe die DGL:
[mm] $0=\ddot r(1+4\alpha^2*r^2)+4\alpha^2*r^2\dot r^2-r\omega^2+2g\alpha [/mm] r$
(DGL für ein Massepunkt auf einer sich mit [mm] $\omega=const$ [/mm] um die symm-Achse drehenden Parabel)
Jetzt möchte ich dafür zb, die DGL für keiner Auslenkungen aus dem Gleichgewichtspunkt $r=0$ erhalten, bzw die Frequenz der daraus entstehenden Schwingung.
Wie kann ich das jetzt nähern?
Mir würde nur einfallen die Lösung der DGL mit Taylor zu näheren..
Vielen Dank und lg!
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Fr 18.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
solange man nicht weiss, was die einzelnen Größen [mm] (\alpha, [/mm] r) sind, kann ich nicht sehen, wo man vielleicht linearisieren kann. Du sagst das ist eine punktförmige Kugel in einer parabelförmigen Rinne? was soll dann r sein? für kleine Auslenkungen ist die Parabel durch einen Kreis zu ersetzen? wie lautet dann deine Gleichung?
bei festem [mm] \omega [/mm] kann man den stabilen Punkt ausrechnen, geht es um die Schwingung um den Punkt, oder um den Tiefpunkt der Parabel?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 18.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
sorry, hätte ich natürlich mal die Bedeutungen der Größen dazu schreiben sollen.
Also [mm] $\(r$ [/mm] ist die Position in der xy-Ebene durch Polarkoordinaten ausgedrückt. Durch die Bedingung, dass sich das Teilchen auf einer Parabel bewegen erhält man:
[mm] $z(r)=\alpha x^2$, [/mm] daher also auch das [mm] $\alpha$, [/mm] das konstant sein soll.
Gleichzeitig soll noch die Kraft [mm] $-m\cdot g\cdot \vec e_z$ [/mm] wirken.
Das ganze war eine Übugnsaufgabe die mit Hilfe von Lagrange gelöst werden sollte und bei der man auf diese DGL kommt.
> bei festem [mm]\omega[/mm] kann man den stabilen Punkt ausrechnen,
> geht es um die Schwingung um den Punkt, oder um den
> Tiefpunkt der Parabel?
> Gruss leduart
Stimmt, [mm] $\omega$ [/mm] ist konstant und für ein bestimmtes Omega erhält man stationäre Punkte. Nur habe ich die für meine Überlegung ausgeschlossen, da es sich ja um indifferente Gleichgewichtslagen handeln müsste.
Deswege dachte ich, man geht dann vom Punkt [mm] $\(r=0$ [/mm] aus.
Wie ich die Gleichung für einen Kreis bekomme weiß ich leider nicht genau. Mir würde nur einfallen, Lagrange nochmal für die Zwangsbedingung, dass es sich um einen Kreis handelt durchzuführen und dass als Näherung für kleine "Auslenkungen" zu nutzen.
Vielen Dank für die Hilfe
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 18.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. kann ich deine Gleichung nicht nachvollziehen, insbesondere nicht den term mit r^*, der stimmt schon von der dimension nicht, oder ist dan ne Konstante mit 1/Länge drin, die 1 gesetzt ist?
Wenn du die prabel durch ihren Krümmungskreis annäherst hast du praktisch ein mathematisches Pendel bei [mm] \omega=0, [/mm] auch da weiss ich nicht wie du zu dem r^* Term kommst.
sicher richtig ist, dass für [mm] \omega^2=2g\alpha [/mm] keine Schwingung zustandekommen kann. vielleicht kann man das benutzen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Fr 18.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
hm jetzt weiß ich nicht genau was du mit "r^*" meinst.
Im allg. alle [mm] $r^c$?
[/mm]
Grade gesehen, dass ich beim posten der DGL wirklich einen Fehler gemacht habe:
Die korrekte DGL lautet:
[mm] $0=\ddot r(1+4*\alpha^2*r^2)+4*\alpha^2*r*\dot r^2-r\omega^2+2g\alpha*r$
[/mm]
(das [mm] $r^2$ [/mm] im 2. Summanden war falsch)
Das sollte zumidnest das Dim.Problem lösen.
Was genau meinst du mit nachvollziehen?
Es dürfte doch im Prinzip egal sein, woher eine DGL kommt die ich Nähern möchte oder nicht?
Wenn die DGL keinen Sinn ergibt, sehe ich die Frage natürlich ein ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] 0=\ddot r(1+4\cdot{}\alpha^2\cdot{}r^2)+4\cdot{}\alpha^2\cdot{}r\cdot{}\dot r^2-r\omega^2+2g\alpha\cdot{}r [/mm] $
wenn man nicht weiss woher die Terme kommen, kann man z.B. nicht beurteilen, welche größen man physikalisch als klein annehmen kann. Warum etwa hat man bei der Gleitreibung in der Parabel einen von [mm] v^2 [/mm] abhängigen Reibungsterm? und woher der Reibungsfaktor [mm] 4*\alpha^2*r
[/mm]
bei meinen überlegungen (ohne Reibung) hat man
[mm] 0=\ddot r\wurzel{(1+4\cdot{}\alpha^2\cdot{}r^2)}-r\omega^2+2g\alpha\cdot{}r [/mm]
(ohne Garantie auf Fehlerlosigkeit)
ich denk immer noch dass die kreisbewegung die richtige alternative ist, die man aber auch mit dem eigenartigen Reibungsglied wohl nicht lösen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 So 20.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
also eigentlich ist das ganze ohen Berücksichtigung von Reibung, nur über die Zwangsbedingung, dass das Teilchen sich auf einer Parabel bewegen soll.
Das [mm] $\alpha$ [/mm] bzw [mm] $2\alpha$ [/mm] ist die Krümmung der Parabel.
Ich schreibe jetzt vielleicht einfach mal meine Herleitung auf:
Zwangsbedingungen:
[mm] $\chi_1=z-\alpha\cdot r^2=0$
[/mm]
[mm] $\chi_2=\phi-\omega [/mm] t=0$
Ich erhalte die Ortsvekoren:
[mm] $\vec x=r\cdot \cos(\omega t)\vec e_x$
[/mm]
[mm] $\dot\vec x=\dot r\cdot \vec e_r +r\cdot \dot \phi \vec e_\phi$
[/mm]
Daraus folgt:
Kinetische Energie
[mm] $T=m/2\cdot (\dot\vec x^2 [/mm] + [mm] \dot z^2)=m/2(\dot r^2+r^2\omega^2+4\alpha^2 r^2 \dot r^2)$
[/mm]
Pot.Energie
[mm] $V=m\cdot g\cdot\alpha\cdot r^2$
[/mm]
Daraus erhalte ich die Lagrangegleichung:
[mm] $L(r,\dot r)=m/2(\dot r^2+r^2\omega^2+4\alpha^2 r^2 \dot r^2)-m\cdot g\cdot\alpha \cdot r^2$
[/mm]
Dann bekomme ich:
[mm] $\bruch{d}{d t}\bruch{\partial}{\partial \dot x}L-\bruch{\partial}{\partial x}L=\ddot r(1+4\alpha^2 r^2)+4\alpha^2 r\dot r^2 -r\omega^2+2g\cdot\alpha\cdot [/mm] r=0$
Vielen Dank für deine Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab deinen lagrange nachgerechnet, und alle teerme endlich verstanden.
für kleine r würde ich erstmal die terme mit [mm] r^2 [/mm] un rr'^2 vernachlässigen, dann kriegst du ne einfache formel für die Frequenz bei kleinen r.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 20.11.2011 | | Autor: | nhard |
> Hallo
> ich hab deinen lagrange nachgerechnet, und alle teerme
> endlich verstanden.
-sorry, dass ich nicht gleich alles korrekt aufgeschrieben habe. Danke dass du dir trotzdem so viel Mühe gemacht hast.
> für kleine r würde ich erstmal die terme mit [mm]r^2[/mm] un
> rr'^2 vernachlässigen, dann kriegst du ne einfache formel
> für die Frequenz bei kleinen r.
> Gruss leduart
jop, so habe ich das auch gemacht, aber gerade da wollte ich wissen, ob ich diese nur in Verbindung mit der physikalsciehn Erklärung machen kann, oder ob es einen "mathematischeren" Weg gibt.
Habe einen Beitrag in einem ![[]](/images/popup.gif) anderen Forumgefunden, da wurde gesagt, dass man [mm] $r(t)=\varepsilon r_2(t)$ [/mm] setzen soll, dann die
DGL bis zur ersten Ordnung nach [mm] $\varepsilon$ [/mm] entwickelt und dann [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] setzt.
Aber da kann ich leider die Funktion von [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht ganz nachvollziehen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Ansatz mit [mm] \epsilon*r [/mm] und dann vernachlässigen aller Glieder mit [mm] \epsilon^2 [/mm] ergibt dasselbe, wie [mm] r^2 [/mm] und rr'^2 vernachlässeigen. man sieht nur besser, dass auc r*r'^2 klein wird. statt [mm] \epsilon=1 [/mm] besser am Ende durch [mm] \epsilon [/mm] dividieren.
das Wort "nach [mm] \epsilon [/mm] entwickeln find ich etwas hochtrabend, wenn man eben einfach potenzen von [mm] \epsilon [/mm] ab 2 weglässt.
aus dem Energiesatz kann man auch sehen, dass wenn [mm] r^2 [/mm] klein ist r'^2 klein ist! mit dem [mm] \epsilon [/mm] ist es vielleicht mehr mathematisch als physikalisch?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Mo 21.11.2011 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank!
ich glaube es ist etwas klarer geworden
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