Näherung einer Zahl berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \wurzel[3]{2}-1,5 [/mm] auf mindestens 8 Dezimalstellen genau. |
Hi!
Ich würde nun wie folgt vorgehen: für 1,5 muss ich keine Näherung berechnen (irgendwie klar), daher muss ich [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] auf 8 Dezimalstellen genau berechnen und dann 1.5 davon abziehen. Also muss gelten:
[mm] R_{n+1}(x) \le [/mm] 0,00000001
[mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ist die Nullstelle des Polynoms f(x) = [mm] x^3-2, [/mm] also könnte ich ein Taylorpolynom n-ten Grades berechnen um eine Näherung zu finden, sodass mein Restglied [mm] \le [/mm] 0,0000001 gilt. Das Problem ist aber, dass mein Polynom ja nur 3 mal ableitbar ist. Oder sehe ich hier gerade etwas falsch?
Meine zweite Idee war die folgende:
Ich entwickle das Taylorpolynom (z.b. 2. Grades) um eine ungefähre Näherung für die Nullstelle von f(x), z.b. Im punkt [mm] x_0 [/mm] = 1,5. Vom Taylorpolynom berechne ich dann die Nulstelle und nutze diese als neuen Entwicklungspunkt und nähere mich so immer weiter der Nullstelle tatsächlichen von f(x). Nur hierbei wüsste ich nicht wie oft ich das ausführen müsste um auf 8 Kommastellen genau zu sein.
Kann man diese Anzahl irgendwie berechnen?
Oder denke ich gerade zu kompliziert für die Aufgabe?
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Hallo Pille456,
> Berechnen Sie [mm]\wurzel[3]{2}-1,5[/mm] auf mindestens 8
> Dezimalstellen genau.
> Hi!
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> Ich würde nun wie folgt vorgehen: für 1,5 muss ich keine
> Näherung berechnen (irgendwie klar), daher muss ich
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf 8 Dezimalstellen genau berechnen und dann
> 1.5 davon abziehen. Also muss gelten:
> [mm]R_{n+1}(x) \le[/mm] 0,00000001
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] ist die Nullstelle des Polynoms f(x) =
> [mm]x^3-2,[/mm] also könnte ich ein Taylorpolynom n-ten Grades
> berechnen um eine Näherung zu finden, sodass mein Restglied
> [mm]\le[/mm] 0,0000001 gilt. Das Problem ist aber, dass mein Polynom
> ja nur 3 mal ableitbar ist. Oder sehe ich hier gerade etwas
> falsch?
>
> Meine zweite Idee war die folgende:
> Ich entwickle das Taylorpolynom (z.b. 2. Grades) um eine
> ungefähre Näherung für die Nullstelle von f(x), z.b. Im
> punkt [mm]x_0[/mm] = 1,5. Vom Taylorpolynom berechne ich dann die
> Nulstelle und nutze diese als neuen Entwicklungspunkt und
> nähere mich so immer weiter der Nullstelle tatsächlichen
> von f(x). Nur hierbei wüsste ich nicht wie oft ich das
> ausführen müsste um auf 8 Kommastellen genau zu sein.
> Kann man diese Anzahl irgendwie berechnen?
>
> Oder denke ich gerade zu kompliziert für die Aufgabe?
Selbst wenn Du [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] in eine Taylorreihe um 1 entwickelst,
benötigst Du nach meinen Rechnungen etwa 17 Glieder bis die gewünschte
Genauigkeit erreicht ist.
Benutze stattdessen in Iterationsverfahren, wie das Newtonverfahren, zur
Bestimmung einer Näherung von [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
Dieses Verfahren liefert bei geeigneter Wahl des Startwertes nahezu in jedem Iterationsschritt eine Verdopplung der gültigen Ziffern.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Danke erstmal, darauf bin ich gar nicht gekommen! :)
Komisch nur, dass die beiden Teilaufgaben davor mit Taylor gehe bzw. zu lösen sind. Ich versuche mal das Verfahren mit dem Verschieben des Entwicklungspunktes, sieht so aus als müsse ich das ca. 8mal anwenden. Mal sehen ob das was bringt...
EDIT: Okay nach 6 Verschiebungen hat mein Taschenrechner(nimm genau 8 Nachkommastellen :D) dann keine Änderung mehr angezeigt!
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