matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenNäherung für Reihenwert
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - Näherung für Reihenwert
Näherung für Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und berechnen Sie eine Näherung für den Reihenwert mit einem Fehler kleiner als 0,001

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}} [/mm]

Hi

ich komme bei einer Aufgabe wieder nicht weiter :/
Man muss eine Näherung für den Reihenwert mit einem Fehler kleiner als 0,001 berechnen.
Man fragt sich also, ab welchem n die Differenz zwischen n und n+1 0,001 beträgt.

Habe erst die Konvergenz gezeigt:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}} [/mm]

Quotientenkriterium:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}}}{\bruch{1}{(n+1)5^{n}}} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(n+1)5^{n}}{(n+2)5^{n}5} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{n+1}{5n+10} [/mm] | [mm] \to |\bruch{1}{5}| [/mm] < 1 --> konvergent

Jetzt muss man die Näherung für den Reihenwert bestimmen.
Mein Ansatz war folgender:
Man nimmt das n+1 Glied und ziegt es vom n-ten Glied ab und dass muss kleiner 0,001 sein. Ist das so richtig?

[mm] |\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)5^{n}}|<0,005 [/mm]

Nun komme ich aber mit den Umformungen nicht mehr weiter. Bekomme nachher n im Exponenten und n als Faktor, aber niermals n alleine auf einer Seite :/
Ich glaube mein Ansatz ist falsch, aber was anderes ist mir bisher nicht eingefallen.

schönes Wochenende noch!

        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Sa 02.07.2011
Autor: abakus


> Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und
> berechnen Sie eine Näherung für den Reihenwert mit einem
> Fehler kleiner als 0,001
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}[/mm]
>  Hi
>  
> ich komme bei einer Aufgabe wieder nicht weiter :/
>  Man muss eine Näherung für den Reihenwert mit einem
> Fehler kleiner als 0,001 berechnen.
>  Man fragt sich also, ab welchem n die Differenz zwischen n
> und n+1 0,001 beträgt.

Falsch.
Man fragt sich, ab welchem n die Summe der noch folgenden UNENDLICH VIELEN Glieder zwischen -0,001 und +0,001 liegt.
Grundvoraussetzung ist natürlich, dass der letzte gültige Summand  selbst schon in diesem Bereich liegt. Der Rest muss abgeschätzt werden.
Gruß Abakus

>  
> Habe erst die Konvergenz gezeigt:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}[/mm]
>  
> Quotientenkriterium:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}}}{\bruch{1}{(n+1)5^{n}}}[/mm] | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{(n+1)5^{n}}{(n+2)5^{n}5}[/mm] | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{n+1}{5n+10}[/mm] | [mm]\to |\bruch{1}{5}|[/mm]
> < 1 --> konvergent
>  
> Jetzt muss man die Näherung für den Reihenwert
> bestimmen.
>  Mein Ansatz war folgender:
>  Man nimmt das n+1 Glied und ziegt es vom n-ten Glied ab
> und dass muss kleiner 0,001 sein. Ist das so richtig?
>  
> [mm]|\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(n+1)5^{n}}|<0,005[/mm]
>  
> Nun komme ich aber mit den Umformungen nicht mehr weiter.
> Bekomme nachher n im Exponenten und n als Faktor, aber
> niermals n alleine auf einer Seite :/
>  Ich glaube mein Ansatz ist falsch, aber was anderes ist
> mir bisher nicht eingefallen.
>  
> schönes Wochenende noch!


Bezug
                
Bezug
Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Hey abakus,

danke für Deine Antwort!
aber ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie man es machen soll.
Gibt es für solche Aufgaben keine allgemeine Vorgehensweise oder muss man irgendwelche Tricks anwenden?

LG

Bezug
                        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Sa 02.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo.

Bestimme doch erstmal das N, ab dem alle weiteren Summanden in dem gewünschten Intervall liegen, also das minimale [mm] N\in\IN, [/mm] mit [mm] \frac{1}{(N+1)\cdot5^{N}}\leq|0,01| [/mm]

Dann hast du schonmal einen Anhaltspunkt.

Den Rest hat abakus doch schon gesagt, versuche den Weg doch erstmal, dann sehen wir weiter.

Marius


Bezug
                                
Bezug
Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Hey

habe versucht die Ungleichung zu lösen, aber komme da irgendwie nicht weiter.

[mm] \bruch{1}{(n+1)5^{n}} \le [/mm] |0.001|

[mm] (n+1)5^{n} \ge \bruch{1}{|0.001|} [/mm]

Habe dann mit e und ln versucht es umzuformen, kam aber trotzdem nicht weiter.
Mit dem Taschenrechner habe ich n=4 raus. Ab n=4 liegen alle Summanden in dem Intervall?

LG

Bezug
                                        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 02.07.2011
Autor: MathePower

Hallo JanineH.,

> Hey
>  
> habe versucht die Ungleichung zu lösen, aber komme da
> irgendwie nicht weiter.
>  
> [mm]\bruch{1}{(n+1)5^{n}} \le[/mm] |0.001|
>
> [mm](n+1)5^{n} \ge \bruch{1}{|0.001|}[/mm]
>  
> Habe dann mit e und ln versucht es umzuformen, kam aber
> trotzdem nicht weiter.
>  Mit dem Taschenrechner habe ich n=4 raus. Ab n=4 liegen
> alle Summanden in dem Intervall?
>  


Ja. [ok]


> LG


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Hi MathePower

ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
Der "letzte" Summand ist n und nun schaut man, ab welchem n man nur noch Summanden addiert, die kleiner als 0.001 sind.
Für n-1 kann ich ja dann einfach den Reihenwert bestimmen, weil ich ab n nur noch Summanden addiere, die kleiner als 0.001 sind und man diesen "Fehler" vernachlässigen kann?

Habe es gleich an zwei anderen Aufgaben getestet:

1)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm]

Die Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium zeigen.

[mm] \bruch{1}{n!} \le [/mm] |0.001|
n! [mm] \ge \bruch{1}{|0.001|} [/mm]
n! [mm] \ge [/mm] 1000

6! = 720
7! = 5040

Ab n=7 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als 0.001 sind.
Der Reihenwert mit dem Fehler 0.001 beträgt dann:
[mm] \summe_{n=0}^{6} 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!} [/mm] = 2,71805... = e

2)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}n!}{n^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm]

Konvergenz konnte ich mit dem Leibnizkriterium zeigen

[mm] \bruch{n!}{n^{n}} \le [/mm] |0,001|
Hier habe ich wieder mit dem Taschenrechner rumprobiert.
(Muss man bei einer alternierenden Reihe nicht [mm] a_{n+1} \le [/mm] |0,001| rechnen?)

n=8 --> 0.0024
n=9 --> 0.00093

Ab n=9 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als 0.001 sind.
Reihenwert bis n=8:

[mm] \summe_{n=1}^{8} 1+\bruch{2!}{2^{2}}+...+\bruch{8!}{8^{8}} [/mm] = -0,655

Das ist ja leichter als ich gedacht habe :D

Bezug
                                                        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Sa 02.07.2011
Autor: MathePower

Hallo JanineH.,

> Hi MathePower
>  
> ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
>  Der "letzte" Summand ist n und nun schaut man, ab welchem
> n man nur noch Summanden addiert, die kleiner als 0.001
> sind.
>  Für n-1 kann ich ja dann einfach den Reihenwert
> bestimmen, weil ich ab n nur noch Summanden addiere, die
> kleiner als 0.001 sind und man diesen "Fehler"
> vernachlässigen kann?


Du musst noch zeigen, daß

[mm]\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{\left(k+1\right)*5^{k}} < 0.001[/mm]

ist.


>  
> Habe es gleich an zwei anderen Aufgaben getestet:
>  
> 1)
>  [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
>  
> Die Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium
> zeigen.
>  
> [mm]\bruch{1}{n!} \le[/mm] |0.001|
>  n! [mm]\ge \bruch{1}{|0.001|}[/mm]
>  n! [mm]\ge[/mm] 1000
>  
> 6! = 720
>  7! = 5040
>  
> Ab n=7 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als
> 0.001 sind.
>  Der Reihenwert mit dem Fehler 0.001 beträgt dann:
>  [mm]\summe_{n=0}^{6} 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!}[/mm]
> = 2,71805... = e
>  
> 2)
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}n!}{n^{n}}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>  
> Konvergenz konnte ich mit dem Leibnizkriterium zeigen
>  
> [mm]\bruch{n!}{n^{n}} \le[/mm] |0,001|
>  Hier habe ich wieder mit dem Taschenrechner rumprobiert.
>  (Muss man bei einer alternierenden Reihe nicht [mm]a_{n+1} \le[/mm]
> |0,001| rechnen?)
>  
> n=8 --> 0.0024
>  n=9 --> 0.00093

>  
> Ab n=9 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als
> 0.001 sind.
>  Reihenwert bis n=8:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{8} 1+\bruch{2!}{2^{2}}+...+\bruch{8!}{8^{8}}[/mm]
> = -0,655
>  
> Das ist ja leichter als ich gedacht habe :D


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Hey MathePower,

Meinst du es so?

[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}} [/mm] < 0,001

Warum muss man das überhaupt zeigen?

Danke und LG!

Bezug
                                                                        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Sa 02.07.2011
Autor: MathePower

Hallo JanineH.,

> Hey MathePower,
>  
> Meinst du es so?
>  
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}[/mm] < 0,001
>  
> Warum muss man das überhaupt zeigen?


Weil es sein kann, daß diese Summe größer 0,001 ist.


>  
> Danke und LG!


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Hi MathePower

Kannst du mir vielleicht sagen, wie man es zeigen könnte?

[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5*5^{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6*5^{5}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7*5^{6}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8*5^{7}} [/mm] + ...

Wie soll man denn für alle n [mm] \ge [/mm] 4 zeigen, dass die Summe kleiner als 0.001 ist?
Ich habe das bisher nur für Folgen zeigen können, aber für Summen?!
hmm kannst du mir einen Tipp geben?

LG

Bezug
                                                                                        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Sa 02.07.2011
Autor: reverend

Hallo Janine,

> Kannst du mir vielleicht sagen, wie man es zeigen könnte?
>  
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5*5^{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6*5^{5}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{7*5^{6}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{8*5^{7}}[/mm] + ...
>  
> Wie soll man denn für alle n [mm]\ge[/mm] 4 zeigen, dass die Summe
> kleiner als 0.001 ist?
>  Ich habe das bisher nur für Folgen zeigen können, aber
> für Summen?!
>  hmm kannst du mir einen Tipp geben?

Vergleich doch mal mit [mm] \summe_{n=4}^{\infty}\bruch{1}{5*5^n} [/mm]

Das ist eine einfache geometrische Reihe, die Du bestimmt berechnen kannst.

Grüße
reverend

PS: Sorry, dass die Antwort so lange gedauert hat. Mein Internet ist gerade grottenlangsam, ich bin unterwegs.


Bezug
                                                                                                
Bezug
Näherung für Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Sa 02.07.2011
Autor: JanineH.

Hey reverend,

So wie ich dich jetzt verstanden habe, muss man den Reihenwert des Restes bestimmen (n>=4)?

Das sieht nach einer geometrischen Reihe aus.

[mm] \bruch{1}{5} \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}} [/mm]

Um den Grenzwert der geometrischen Reihe zu bestimmen muss erst eine Indexverschiebung machen:

[mm] \bruch{1}{5} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}} [/mm] - [mm] (1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{5^{2}}+\bruch{1}{5^{3}}+\bruch{1}{5^{4}}) [/mm]

Die Formel zur Berechnung des Grenzwertes einer geometrischen Reihe ist:

[mm] a*(\bruch{1}{1-q}-Summe [/mm] der Indexverschiebung)

[mm] \bruch{1}{5}*(\bruch{5}{4} [/mm] - 1,2496)
[mm] \bruch{1}{5}*(0,0004) [/mm] = 0,00008 < 0,001

Aber ich verstehe nicht, wieso man mit [mm] \bruch{1}{5} \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}} [/mm] abschätzt und warum schätzt du nicht mit
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{999999999*5^{n}} [/mm] oder
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}} [/mm]

verstehst du mein Problem? Ich erkenne einfach nicht mit welcher Reihe man da abschätzen kann.
Die geometrische Reihe sieht ja so aus
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{a*k^{2}} [/mm]
Ich könnte theoretisch auch 1 Mio. nehmen?



Hier ist z.B. eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiß, wie man da abschätzen soll:

1)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm]

Die Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium zeigen.

[mm] \bruch{1}{n!} \le [/mm] |0.001|
n! [mm] \ge \bruch{1}{|0.001|} [/mm]
n! [mm] \ge [/mm] 1000

6! = 720
7! = 5040

Ab n=7 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als 0.001 sind.
Der Reihenwert mit dem Fehler 0.001 beträgt dann:
[mm] \summe_{n=0}^{6} 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!} [/mm] = 2,71805... = e


Jetzt muss ich der Wert der Reihe [mm] \summe_{n=7}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm]
berechnen...aber wie?!
Bin langsam wirklich am Verzweifeln :/

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Näherung für Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:48 So 03.07.2011
Autor: leduart

Hallo
zur 2 ten Frage:Kennst du die Reihe für die e Funktion? was ist, wenn du da x=1 einsetzt?
zur ersten Frage. Du denkst, dass du die Reihe nach 4 gliedern abbrechen kannst und dann nur noch einen Fehler von 0.001 hat. dazu musst du den Rest der Reihe abschätzen. die fängt dann bei 5 an .
also hast du [mm]\summe_{n=5}^{\infty} 1/(n+1)*(1/5)^n<\summe_{n=5}^{\infty}1/5*(1/5)^n [/mm]
wenn du bis n010 rechnest kannst du natürlich durch 1/10 statt 1/5 abschätzen.
du reechnest einfach die ganze geometrische reihe aus und ziehst die ersten 4 glieder ab! Indesverschiebung hilft hier nicht.
Gruss leduart



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]