Näherung für Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und berechnen Sie eine Näherung für den Reihenwert mit einem Fehler kleiner als 0,001
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}} [/mm] |
Hi
ich komme bei einer Aufgabe wieder nicht weiter :/
Man muss eine Näherung für den Reihenwert mit einem Fehler kleiner als 0,001 berechnen.
Man fragt sich also, ab welchem n die Differenz zwischen n und n+1 0,001 beträgt.
Habe erst die Konvergenz gezeigt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}}}{\bruch{1}{(n+1)5^{n}}} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(n+1)5^{n}}{(n+2)5^{n}5} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{n+1}{5n+10} [/mm] | [mm] \to |\bruch{1}{5}| [/mm] < 1 --> konvergent
Jetzt muss man die Näherung für den Reihenwert bestimmen.
Mein Ansatz war folgender:
Man nimmt das n+1 Glied und ziegt es vom n-ten Glied ab und dass muss kleiner 0,001 sein. Ist das so richtig?
[mm] |\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)5^{n}}|<0,005
[/mm]
Nun komme ich aber mit den Umformungen nicht mehr weiter. Bekomme nachher n im Exponenten und n als Faktor, aber niermals n alleine auf einer Seite :/
Ich glaube mein Ansatz ist falsch, aber was anderes ist mir bisher nicht eingefallen.
schönes Wochenende noch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 02.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und
> berechnen Sie eine Näherung für den Reihenwert mit einem
> Fehler kleiner als 0,001
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}[/mm]
> Hi
>
> ich komme bei einer Aufgabe wieder nicht weiter :/
> Man muss eine Näherung für den Reihenwert mit einem
> Fehler kleiner als 0,001 berechnen.
> Man fragt sich also, ab welchem n die Differenz zwischen n
> und n+1 0,001 beträgt.
Falsch.
Man fragt sich, ab welchem n die Summe der noch folgenden UNENDLICH VIELEN Glieder zwischen -0,001 und +0,001 liegt.
Grundvoraussetzung ist natürlich, dass der letzte gültige Summand selbst schon in diesem Bereich liegt. Der Rest muss abgeschätzt werden.
Gruß Abakus
>
> Habe erst die Konvergenz gezeigt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}[/mm]
>
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}}}{\bruch{1}{(n+1)5^{n}}}[/mm] | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{(n+1)5^{n}}{(n+2)5^{n}5}[/mm] | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{n+1}{5n+10}[/mm] | [mm]\to |\bruch{1}{5}|[/mm]
> < 1 --> konvergent
>
> Jetzt muss man die Näherung für den Reihenwert
> bestimmen.
> Mein Ansatz war folgender:
> Man nimmt das n+1 Glied und ziegt es vom n-ten Glied ab
> und dass muss kleiner 0,001 sein. Ist das so richtig?
>
> [mm]|\bruch{1}{(n+2)5^{n+1}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(n+1)5^{n}}|<0,005[/mm]
>
> Nun komme ich aber mit den Umformungen nicht mehr weiter.
> Bekomme nachher n im Exponenten und n als Faktor, aber
> niermals n alleine auf einer Seite :/
> Ich glaube mein Ansatz ist falsch, aber was anderes ist
> mir bisher nicht eingefallen.
>
> schönes Wochenende noch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey abakus,
danke für Deine Antwort!
aber ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie man es machen soll.
Gibt es für solche Aufgaben keine allgemeine Vorgehensweise oder muss man irgendwelche Tricks anwenden?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Sa 02.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bestimme doch erstmal das N, ab dem alle weiteren Summanden in dem gewünschten Intervall liegen, also das minimale [mm] N\in\IN, [/mm] mit [mm] \frac{1}{(N+1)\cdot5^{N}}\leq|0,01|
[/mm]
Dann hast du schonmal einen Anhaltspunkt.
Den Rest hat abakus doch schon gesagt, versuche den Weg doch erstmal, dann sehen wir weiter.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey
habe versucht die Ungleichung zu lösen, aber komme da irgendwie nicht weiter.
[mm] \bruch{1}{(n+1)5^{n}} \le [/mm] |0.001|
[mm] (n+1)5^{n} \ge \bruch{1}{|0.001|}
[/mm]
Habe dann mit e und ln versucht es umzuformen, kam aber trotzdem nicht weiter.
Mit dem Taschenrechner habe ich n=4 raus. Ab n=4 liegen alle Summanden in dem Intervall?
LG
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Hallo JanineH.,
> Hey
>
> habe versucht die Ungleichung zu lösen, aber komme da
> irgendwie nicht weiter.
>
> [mm]\bruch{1}{(n+1)5^{n}} \le[/mm] |0.001|
>
> [mm](n+1)5^{n} \ge \bruch{1}{|0.001|}[/mm]
>
> Habe dann mit e und ln versucht es umzuformen, kam aber
> trotzdem nicht weiter.
> Mit dem Taschenrechner habe ich n=4 raus. Ab n=4 liegen
> alle Summanden in dem Intervall?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi MathePower
ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
Der "letzte" Summand ist n und nun schaut man, ab welchem n man nur noch Summanden addiert, die kleiner als 0.001 sind.
Für n-1 kann ich ja dann einfach den Reihenwert bestimmen, weil ich ab n nur noch Summanden addiere, die kleiner als 0.001 sind und man diesen "Fehler" vernachlässigen kann?
Habe es gleich an zwei anderen Aufgaben getestet:
1)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}
[/mm]
Die Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium zeigen.
[mm] \bruch{1}{n!} \le [/mm] |0.001|
n! [mm] \ge \bruch{1}{|0.001|}
[/mm]
n! [mm] \ge [/mm] 1000
6! = 720
7! = 5040
Ab n=7 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als 0.001 sind.
Der Reihenwert mit dem Fehler 0.001 beträgt dann:
[mm] \summe_{n=0}^{6} 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!} [/mm] = 2,71805... = e
2)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}n!}{n^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
Konvergenz konnte ich mit dem Leibnizkriterium zeigen
[mm] \bruch{n!}{n^{n}} \le [/mm] |0,001|
Hier habe ich wieder mit dem Taschenrechner rumprobiert.
(Muss man bei einer alternierenden Reihe nicht [mm] a_{n+1} \le [/mm] |0,001| rechnen?)
n=8 --> 0.0024
n=9 --> 0.00093
Ab n=9 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als 0.001 sind.
Reihenwert bis n=8:
[mm] \summe_{n=1}^{8} 1+\bruch{2!}{2^{2}}+...+\bruch{8!}{8^{8}} [/mm] = -0,655
Das ist ja leichter als ich gedacht habe :D
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Hallo JanineH.,
> Hi MathePower
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> ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
> Der "letzte" Summand ist n und nun schaut man, ab welchem
> n man nur noch Summanden addiert, die kleiner als 0.001
> sind.
> Für n-1 kann ich ja dann einfach den Reihenwert
> bestimmen, weil ich ab n nur noch Summanden addiere, die
> kleiner als 0.001 sind und man diesen "Fehler"
> vernachlässigen kann?
Du musst noch zeigen, daß
[mm]\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{\left(k+1\right)*5^{k}} < 0.001[/mm]
ist.
>
> Habe es gleich an zwei anderen Aufgaben getestet:
>
> 1)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
>
> Die Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium
> zeigen.
>
> [mm]\bruch{1}{n!} \le[/mm] |0.001|
> n! [mm]\ge \bruch{1}{|0.001|}[/mm]
> n! [mm]\ge[/mm] 1000
>
> 6! = 720
> 7! = 5040
>
> Ab n=7 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als
> 0.001 sind.
> Der Reihenwert mit dem Fehler 0.001 beträgt dann:
> [mm]\summe_{n=0}^{6} 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!}[/mm]
> = 2,71805... = e
>
> 2)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}n!}{n^{n}}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> Konvergenz konnte ich mit dem Leibnizkriterium zeigen
>
> [mm]\bruch{n!}{n^{n}} \le[/mm] |0,001|
> Hier habe ich wieder mit dem Taschenrechner rumprobiert.
> (Muss man bei einer alternierenden Reihe nicht [mm]a_{n+1} \le[/mm]
> |0,001| rechnen?)
>
> n=8 --> 0.0024
> n=9 --> 0.00093
>
> Ab n=9 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als
> 0.001 sind.
> Reihenwert bis n=8:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{8} 1+\bruch{2!}{2^{2}}+...+\bruch{8!}{8^{8}}[/mm]
> = -0,655
>
> Das ist ja leichter als ich gedacht habe :D
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey MathePower,
Meinst du es so?
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}} [/mm] < 0,001
Warum muss man das überhaupt zeigen?
Danke und LG!
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Hallo JanineH.,
> Hey MathePower,
>
> Meinst du es so?
>
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)5^{n}}[/mm] < 0,001
>
> Warum muss man das überhaupt zeigen?
Weil es sein kann, daß diese Summe größer 0,001 ist.
>
> Danke und LG!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi MathePower
Kannst du mir vielleicht sagen, wie man es zeigen könnte?
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5*5^{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6*5^{5}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7*5^{6}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8*5^{7}} [/mm] + ...
Wie soll man denn für alle n [mm] \ge [/mm] 4 zeigen, dass die Summe kleiner als 0.001 ist?
Ich habe das bisher nur für Folgen zeigen können, aber für Summen?!
hmm kannst du mir einen Tipp geben?
LG
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Hallo Janine,
> Kannst du mir vielleicht sagen, wie man es zeigen könnte?
>
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5*5^{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6*5^{5}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{7*5^{6}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{8*5^{7}}[/mm] + ...
>
> Wie soll man denn für alle n [mm]\ge[/mm] 4 zeigen, dass die Summe
> kleiner als 0.001 ist?
> Ich habe das bisher nur für Folgen zeigen können, aber
> für Summen?!
> hmm kannst du mir einen Tipp geben?
Vergleich doch mal mit [mm] \summe_{n=4}^{\infty}\bruch{1}{5*5^n}
[/mm]
Das ist eine einfache geometrische Reihe, die Du bestimmt berechnen kannst.
Grüße
reverend
PS: Sorry, dass die Antwort so lange gedauert hat. Mein Internet ist gerade grottenlangsam, ich bin unterwegs.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey reverend,
So wie ich dich jetzt verstanden habe, muss man den Reihenwert des Restes bestimmen (n>=4)?
Das sieht nach einer geometrischen Reihe aus.
[mm] \bruch{1}{5} \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}}
[/mm]
Um den Grenzwert der geometrischen Reihe zu bestimmen muss erst eine Indexverschiebung machen:
[mm] \bruch{1}{5} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}} [/mm] - [mm] (1+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{5^{2}}+\bruch{1}{5^{3}}+\bruch{1}{5^{4}})
[/mm]
Die Formel zur Berechnung des Grenzwertes einer geometrischen Reihe ist:
[mm] a*(\bruch{1}{1-q}-Summe [/mm] der Indexverschiebung)
[mm] \bruch{1}{5}*(\bruch{5}{4} [/mm] - 1,2496)
[mm] \bruch{1}{5}*(0,0004) [/mm] = 0,00008 < 0,001
Aber ich verstehe nicht, wieso man mit [mm] \bruch{1}{5} \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}} [/mm] abschätzt und warum schätzt du nicht mit
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{999999999*5^{n}} [/mm] oder
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{5^{n}}
[/mm]
verstehst du mein Problem? Ich erkenne einfach nicht mit welcher Reihe man da abschätzen kann.
Die geometrische Reihe sieht ja so aus
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{a*k^{2}}
[/mm]
Ich könnte theoretisch auch 1 Mio. nehmen?
Hier ist z.B. eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiß, wie man da abschätzen soll:
1)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}
[/mm]
Die Konvergenz konnte ich mit dem Quotientenkriterium zeigen.
[mm] \bruch{1}{n!} \le [/mm] |0.001|
n! [mm] \ge \bruch{1}{|0.001|}
[/mm]
n! [mm] \ge [/mm] 1000
6! = 720
7! = 5040
Ab n=7 addiere ich nur noch Summanden, die kleiner als 0.001 sind.
Der Reihenwert mit dem Fehler 0.001 beträgt dann:
[mm] \summe_{n=0}^{6} 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!} [/mm] = 2,71805... = e
Jetzt muss ich der Wert der Reihe [mm] \summe_{n=7}^{\infty} \bruch{1}{n!}
[/mm]
berechnen...aber wie?!
Bin langsam wirklich am Verzweifeln :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 So 03.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur 2 ten Frage:Kennst du die Reihe für die e Funktion? was ist, wenn du da x=1 einsetzt?
zur ersten Frage. Du denkst, dass du die Reihe nach 4 gliedern abbrechen kannst und dann nur noch einen Fehler von 0.001 hat. dazu musst du den Rest der Reihe abschätzen. die fängt dann bei 5 an .
also hast du [mm]\summe_{n=5}^{\infty} 1/(n+1)*(1/5)^n<\summe_{n=5}^{\infty}1/5*(1/5)^n
[/mm]
wenn du bis n010 rechnest kannst du natürlich durch 1/10 statt 1/5 abschätzen.
du reechnest einfach die ganze geometrische reihe aus und ziehst die ersten 4 glieder ab! Indesverschiebung hilft hier nicht.
Gruss leduart
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