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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Zeigen Sie: Für "große" n gilt: [mm] ln(n)\approx \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i}
[/mm]
Welche Näherung erhält man für n=10? Wie groß ist der Fehler?
Muss ich hier wieder die Ober- und Untersumme berrechnen? Und wenn ja wie geht's dann weiter?
Vielen Dank!!
Grüße Kiara
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> Hallo,
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> ich habe folgende Aufgabe:
> Zeigen Sie: Für "große" n gilt: [mm]ln(n)\approx \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i}[/mm]
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> Welche Näherung erhält man für n=10? Wie groß ist der
> Fehler?
>
> Muss ich hier wieder die Ober- und Untersumme berechnen?
> Und wenn ja wie geht's dann weiter?
>
> Vielen Dank!!
>
> Grüße Kiara
Ciao Kiara !
wenn du von Ober- und Untersumme sprichst, hast du
wohl die richtige Idee schon. Betrachte solche für
das Integral
[mm] $\integral_{1}^{n}\,\frac{1}{x}\ [/mm] dx$
und vergleiche sie mit dem exakten Wert des Integrals !
In welcher Weise die Funktion [mm] \frac{1}{x} [/mm] mit ln(x)
verknüpft ist, ist dir wohl bekannt ...
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich hab jetzt mal die Summe und das Integral für n=10 berrechnet.
$ [mm] \summe_{i=1}^{10} \bruch{1}{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $
und
$ [mm] \integral_{1}^{10}{\bruch{1}{x}}dx [/mm] = [mm] [ln(x)]_{1}^{10} [/mm] = ln(1)-ln(10) $
Jetzt weiß ich nur nicht wie ich die Untersumme und Obersumme berrechne muss ich die für n berrechnen oder für n=10???
Danke.
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> Hallo,
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> ich hab jetzt mal die Summe und das Integral für n=10
> berrechnet.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{10} \bruch{1}{i} = \bruch{1}{1} + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{4} + \bruch{1}{5} + \bruch{1}{6} + \bruch{1}{7} + \bruch{1}{8} + \bruch{1}{9} + \bruch{1}{10}[/mm]
>
> und
> [mm]\integral_{1}^{10}{\bruch{1}{x}}dx = [ln(x)]_{1}^{10} = ln(1)-ln(10)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das ist verkehrt !
richtig wäre: [mm]\integral_{1}^{10}{\bruch{1}{x}}dx = [ln(x)]_{1}^{10} = ln(10)-ln(1)[/mm]
(das Ergebnis kann man übrigens vereinfachen !)
> Jetzt weiß ich nur nicht wie ich die Untersumme und
> Obersumme berrechne muss ich die für n berrechnen oder
> für n=10???
>
> Danke.
Konkret berechnen (mit Zahlenwerten) musst du die Summen
nur für den Fall n=10.
Für allgemeine (große) Werte von n ist nur verlangt, zu zeigen,
dass die (relative) Abweichung der Summe vom Integral klein
(beliebig klein) wird.
LG Al-Chw.
P.S. Wesshalbb schrreibbst ddu "berechnen" mit "rr" statt nur mit "r" ??
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Hallo,
Sorry hab mir das mit dem "berechnen" falsch angewöhnt.
Ich weiß, dass man zur Berechnung der Ober- bzw. Untersumme die Länge mal Höhe rechnet, aber wie bekomm ich die Höhe raus, wenn ich als Länge 1/2 nehme?
Du sagst:
Für allgemeine (große) Werte von n ist nur verlangt, zu zeigen, dass die (relative) Abweichung der Summe vom Integral klein (beliebig klein) wird.
Doch wie geht das?
Vielen Dank.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Mo 31.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Skizziere doch mal den Graph von 1/x. dann mach ne Unterteilung der Länge 1 ( keine andere!)und schreib die Unter und Obersumme dafür hin.
Wie sehen die aus, was haben die eine und andere mit deiner Summe zu tun? ln(x) liegt dazwischn, Was kannst du also über den Fehler sagen. (keine exakte Angabe, nur Fehler kleiner als!
Gruss leduart
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Hallo
Also ich hab mir das mal grafisch skizziert und mir wurde klar, dass wenn ich n größer werden lasse, dass dann die Funktion gegen Null läuft, und die Differenz zwischen Ober- und Untersumme immer kleiner wird. Und da die Summe aus der Untersumme des Integrals berechnet wird, ist immer ein Fehler da, der berechnet werden kann indem ich die Obersumme minus die Untersumme rechne.
Ich weiß, dass ist jetzt nicht so mathematisch ausgedrückt, aber ist das so richtig?
Mein Frage ist jtzt nur, wenn das so richtig ist (hoffentlich), wie kann ich das dann mathematisch aufzeigen, dass für "große" n folgendes gilt: ln(n) [mm] \approx \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i}?
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 03.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch einfach die Unter und Obersumme für die Fkt f(x)=1/x mit Schrittlänge 1 hin.
Dann bilde die Differenz und sage
[mm] ln(n)=\integral_{1}^{n}{1/x dx}
[/mm]
der Unterschied zw. dem Integral und der Untersumme oder dr Obersumme ist höchstens so groß wie der Unterschied der 2 Summen, Dann schreib den Unterschied auf und du hast US<ln(n)<OS oder den max unterschied zw. der Summe und ln(n)
Gruss leduart
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Vielen dank, aber genau da liegt mein Problem, ich weiß nicht wie ich die Unter- und Obersumme mit n bilden soll, ich kenn das nur, wenn man Zahlen zur verfügung hat.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Do 03.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du das von 1 bis 10 oder bis 16 kannst, warum kannst du dann nicht einfach statt 10 oder 16 die n einsetzen.
sonst stell dir n größer Zahl vor 57, da hast du sicher keine Lust mehr alle Summanden aufzuschreiben.
Du musst das Verallgemeinern von 10 oder 16 oder 57 auf n allein schaffen wenn nicht jetz, dann nie!
(zur Kontrolle setz du dann wieder, wenn du die Forml hast n=10 ein, dann weisst du ob es richtig ist.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kiara!
Mit dem Wissenstand und den Mitteln der 10. Klasse ist diese Aufgabe nicht zu lösen.
Alos bitte in Zukunft darauf achten, dass im richtigen Unterforum gepostet wird.
Gruß
Loddar
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