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| Aufgabe | Zur näherungsweisen Differentation von Funktion $y(x)$, $x [mm] \in [/mm] [a, b]$, können Interpolationspolynome benutzt werden.
Für $h > 0$ seien [mm] $x_{n-1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - h, [mm] x_n, x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] + h [mm] \in [/mm] [a, b]$ drei äquidistante Stützstellen.
Ferner seien [mm] $y_k [/mm] = [mm] y(x_k)$, [/mm] $k = n - 1, n, n + 1$, die zugehörigen Funktionswerte.
Ermitteln Sie [mm] $P_2(x)$, [/mm] das die Punkte [mm] $(x_k, y_k)$, [/mm] $k = n - 1, n, n + 1$, interpoliert.
Gewinnen Sie Näherungsformeln für [mm] $y′(x_n)$ [/mm] bzw. [mm] $y′′(x_n)$ [/mm] durch Differentation von [mm] $P_2(x)$. [/mm] |
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Hallo!
Dahinter versteckst sich eine Steckbriefaufgabe. Etwas unverständlich formuliert, aber nicht schwer.
Du hast drei Punkte [mm] (x_{n-1}|y_{n-1}) [/mm] , [mm] (x_{n}|y_{n}) [/mm] , [mm] (x_{n+1}|y_{n+1}) [/mm] gegeben, durch die du eine Parabel (Polynom 2. Grades) legen sollst:
[mm] P_2(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
Wie bei einer Steckbriefaufgabe mußt du nun a, b und c bestimmen, das geht auch ganz allgemein!
c brauchst du eigentlich nicht zu bestimmen, denn in der Ableitung verschwindet es ja:
[mm] P_2'(x)=2ax+bx
[/mm]
oder besser gleich
[mm] P_2'(x_n)=2ax_n+bx_n
[/mm]
Wenn du a und b allgemein bestimmt hast, kannst du anschließend immer schell die Ableitung an einem Punkt berechnen, wen du den vorangehenden und nächsten Punkt kennst, und die Punkte äquidistant sind.
Übrigens kann man den Spieß auch umdrehen, und auf diese Weise integrieren, so kommt man auf die Simpson-Formel.
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