Navier-Stokes, schwache Form. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die schwache Formulierung des folgenden Systems:
[mm] $\Delta [/mm] u + [mm] u\nabla [/mm] u + [mm] \nabla [/mm] p = 0$ in [mm] $\Omega$
[/mm]
div $u = 0$ in [mm] $\Omega$
[/mm]
$u = [mm] u_{0} [/mm] $ auf [mm] $\Gamma_{in}$
[/mm]
$u = 0$ auf [mm] $\Gamma_{0}$
[/mm]
$pn - [mm] \bruch{\partial u}{\partial n} [/mm] = 0$ auf [mm] $\Gamma_{out}$ [/mm] |
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Hallo zusammen und danke schon einmal im Vorraus!
Zunächst habe ich einige Probleme, die obige Schreibweise korrekt zu interpretieren. Die Aufgabe ist eigentlich allgemein gehalten, in dem Sinne, dass der [mm] $\IR^{d}$ [/mm] betrachtet wird, ich möchte mich aber direkt auf den [mm] $\IR^{3}$ [/mm] zurückziehen.
Also [mm] $u:\IR^{3}\rightarrow\IR^{3}$ [/mm] und [mm] $p:\IR^{3}\rightarrow\IR$.
[/mm]
Das ist doch richtig so? $u$ wird ja als Geschwindigkeit interpretiert und diese hat eine Richtung und einen Betrag!?
Zu den einzelnen Termen:
[mm] $\Delta [/mm] u = [mm] \sum_{i=1}^{3} \bruch{\partial^{2}u}{\partial^{2}x_{i}}$ [/mm] also [mm] $\in \IR^{3}$.
[/mm]
[mm] $\nabla [/mm] p [mm] \in \IR^{3}$ [/mm] ist klar.
[mm] $u\nabla [/mm] u$ ist mir nicht ganz geheuer. Laut Wiki ist dies Tensorschreibweise für die ![[]](/images/popup.gif) Strömungsbeschleunigung und in ihm steckt der Advektions OperatorEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. Demnach wäre also:
$u\nabla u = \sum_{i=1}^{3} u_{i}\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}}$ also auch $\in \IR^{3}$. Mich stört aber die genaue Schreibweise: Aufgabenstellung $u\nabla u$ und Wiki $u*\nabla u$.
Kann jmd bestätigen, dass beide Ausdrücke gleich zu setzen sind?
Von diesem System benötige ich nun die schwache Formulierung:
$a((u,p),(v,q)) = L((v,q))$ wobei $(v,q)$ entsprechende Testfunktionen sind.
Dies habe ich allerding bisher nur für eindimensionale Funktionen getan und da wird einfach mit $v$ bzw. $q$ multipliziert und über $\Omega$ integriert. Wie sieht aber hier die Multiplikation im $\IR^{3}$ aus? Wird hier über das Skalarprodukt $<*,*>$ integriert? Also:
$\integral_{\Omega}<\Delta u,v> + <u\nabla u,v> + <\nabla p,v>\, dx = 0$
$\integral_{\Omega}$div $ u*q\, dx = 0$
Mit freundlichen Grüßen Mr.Sugar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 09.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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