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| Aufgabe | | Einem gleichschenkligen Trapez mit Winkel [mm] \alpha=45°[/mm] ist das flächengrößte Rechteck so inzuschreiben, dass eine Rechteckseite auf der Basis des Trapez liegt![mm] \alpha=45°[/mm] ist der Winkel bei der Basis! |
Hallo!
Ich grüble schon ein Weile, finde aber keine Nebenbedingung für dieses Problem. Könnte mir da bitte jemand einen Tipp geben?Habe schon versucht[mm] x=tan(\alpha)\cdot x[/mm], das elimieniert mir aber auch keine Variable...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus!
Angelika
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo AbraxasRishi,
> Einem gleichschenkligen Trapez mit Winkel [mm]\alpha=45°[/mm] ist
> das flächengrößte Rechteck so inzuschreiben, dass eine
> Rechteckseite auf der Basis des Trapez liegt![mm] \alpha=45°[/mm]
> ist der Winkel bei der Basis!
> Hallo!
>
> Ich grüble schon ein Weile, finde aber keine Nebenbedingung
> für dieses Problem. Könnte mir da bitte jemand einen Tipp
> geben?Habe schon versucht[mm] x=tan(\alpha)\cdot x[/mm], das
> elimieniert mir aber auch keine Variable...
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Betrachte hier die Länge der Basis s:
[mm]s=y+2*x[/mm]
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
>
> Angelika
Gruß
MathePower
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Danke Mathepower!
Ich verstehe leider immer noch nicht wie ich die Nebenbedingung genau formulieren soll...![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Mit s führe ich doch bloß eine weitere Variable ein, irgendwie muss doch eine Beziehung zu Winkel [mm] \alpha [/mm] bestehen die ich nicht finde...
Könntest du deinen Tipp bitte noch ein bisschen präzisieren, ich bin nicht so weitsichtig..
Vielen Dank!
Angelika
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Hallo AbraxasRishi,
> Danke Mathepower!
>
> Ich verstehe leider immer noch nicht wie ich die
> Nebenbedingung genau formulieren soll... Mit s
> führe ich doch bloß eine weitere Variable ein, irgendwie
> muss doch eine Beziehung zu Winkel [mm]\alpha[/mm] bestehen die ich
> nicht finde...
Der Winkel [mm]\alpha[/mm] ist ja fest.
So, die Länge der Basis (der unteren Linie des Trapezes) sei s.
Weiterhin sei die Länge y des Rechteckes vorgegeben (siehe Deine Skizze)
Dann gilt (ebenfalls aus der Skizze) [mm]x+y+x=2*x+y=s [/mm], wobei s
nicht zu bestimmen ist.
Somit kannst Du y in Abhängigkeit von x ausdrücken.
Für x gilt nun [mm]x=l*\cos\left(\alpha\right)[/mm], wobei l die Länge der Hypotenuse des zugehörigen Dreiecks ist. Wir benötigen aber die Länge [mm]l*\sin\left(\alpha\right)[/mm]. Dies ist die zweite Seite des Rechtecks.
Nun kannst Du auch diese zweite Seite des Rechtecks in Abhängigkkeit von x
ausdrücken.
Somit ergibt sich als die zu maximierende Funktion:
[mm]A=y*l*\sin\left(\alpha\right)=y*\bruch{x}{\cos\left(\alpha\right)}*\sin\left(\alpha\right)=y*x*\tan\left(\alpha\right)[/mm]
> Könntest du deinen Tipp bitte noch ein bisschen
> präzisieren, ich bin nicht so weitsichtig..
>
> Vielen Dank!
>
> Angelika
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower!
Ich finde deinen Lösungsansatz wirklich sehr interessant. Das Problem ist nur, dass y gar nicht gegeben ist...Das wunderte mich ja die ganze Zeit. Es ist nur Winkel [mm] \alpha [/mm] gegeben mit x und y habe ich die Längen des Rechtecks bezeichnet Breite=x, Länge=y. Gleichzeitig soll die Seite, die du mit s bezeichnet hast 2x+y sein. Aber was nützt mir diese Beziehung wenn alle drei Größen variabel sind?Ist dieses Problem überhaupt lösbar?
Gruß
Angelika
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Hallo AbraxasRishi,
> Hallo Mathepower!
>
> Ich finde deinen Lösungsansatz wirklich sehr interessant.
> Das Problem ist nur, dass y gar nicht gegeben ist...Das
> wunderte mich ja die ganze Zeit. Es ist nur Winkel [mm]\alpha[/mm]
> gegeben mit x und y habe ich die Längen des Rechtecks
> bezeichnet Breite=x, Länge=y. Gleichzeitig soll die Seite,
> die du mit s bezeichnet hast 2x+y sein. Aber was nützt mir
> diese Beziehung wenn alle drei Größen variabel sind?Ist
> dieses Problem überhaupt lösbar?
Sicher, das Problem ist lösbar.
Nun y kannst Du in Abhängigkeit von s und x ausdrücken.
[mm]y+2x=s \Rightarrow y=s-2*x[/mm]
Und die zweite Seitenlänge ist durch x festgelegt, da [mm]\alpha=45^{\circ}[/mm]
Dann hast Du die Zielfunktion
[mm]A=\left(s-2*x\right)*x[/mm]
Wenn Du diese Zielfunktion nach x maximierst, erhältst Du die Rechtecksfläche in Abhängigkeit von der Basislänge s.
>
> Gruß
>
> Angelika
Gruß
MathePower
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> Sicher, das Problem ist lösbar.
>
> Nun y kannst Du in Abhängigkeit von s und x ausdrücken.
>
> [mm]y+2x=s \Rightarrow y=s-2*x[/mm]
>
> Und die zweite Seitenlänge ist durch x festgelegt, da
> [mm]\alpha=45^{\circ}[/mm]
>
> Dann hast Du die Zielfunktion
>
> [mm]A=\left(s-2*x\right)*x[/mm]
>
Tut mir Leid Mathepower, ich verstehe das immer noch nicht, in deiner Zielfunktion sind doch immer noch 2 Unbekannte s und x, auch s ist nicht gegeben. Wir haben in der Schule noch nie eine Funktion mit zwei unabhängigen Variablen maximiert. Du sagt "in abhängigkeit von s" jedoch ist s nicht gegeben. Vielleicht haben wir uns missverstanden und du hast gemeint das s gegeben ist oder ich habe die Aufgabenstellung falsch interpretiert?Meines wissens ist [mm] \underline{nur} \qquad\alpha [/mm] gegeben.
Tut mir leid wenn ich zuviele Fragen stelle, aber solche Fälle haben wir noch nie besprochen.
Gruß
Angelika
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Hallo, sicherlich ist dir wohler, würde dort stehen s= 20cm oder eine andere Länge, wir haben für s keinen konkreten Wert, macht aber nichts,
A=(s-2x)*x
[mm] A=s*x-2x^{2}
[/mm]
A'=s-4x
0=s-4x
[mm] x=\bruch{1}{4}s
[/mm]
somit hast du deine Strecke x in Abhängigkeit von s, hättest du jetzt konkrete Werte, könntest du x berechnen, z.B. s=20cm, dann x=5cm, y=10cm, das Rechteck hat einen Flächeninhalt von [mm] 50cm^{2}
[/mm]
es ist aber nur nach x in Abhängigkeit von s gefragt,
Steffi
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Ok. Danke euch beiden. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Nun ist mir das klar.
Ich hatte auch schon öfters mit Extremwertproblemen zu tun wo z.B stand einer Kugel mit dem Radius r ist der Kegel mit dem größten Volumen einzuschreiben. Auch da ist ja für r kein konkreter Wert angegeben aber trotzdem wusste ich es ist das Volumen in Abhängigkeit von r gesucht.Irritiert hat mich, das dies diesmal nicht explizit in der Aufgabenstellung stand( z.B einem Trapez mit der Basis s, ist ein Rechteck...)Es ist ja dann auch nicht klar in abhängigkeit welcher Größen man die F. erstellen soll.Z.B hat Mathepower zuerst eine Funktion in Abhängigkeit von y erstellt.
Schönen Abend!
Gruß
Angelika
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