Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 12.03.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | | f(x,y)=3(x-1)y+2 besitzt unter der Nebengedingung [mm] (x-1)^{2} +4y^{2} [/mm] =8 vier relative Extremstellen. Bestimmen sie diese: |
Meine erste Idee:
1. Verfahren EINSETZEN
ich habe die NB nach y umgestellt
y = [mm] \wurzel{(-x^{2}/4) -(1/2)x +(9/4)}
[/mm]
Dann habe ich y in f(x,y)=3(x-1)y+2 eingesetzt
die erste Ableitung von f = 0 war sehr lang und ich habe abgebrochen da es eine Klausuraufgabe ist und man das bestimmt schneller bestimmen kann.
2. Versuch Lagrange
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] =3(x-1)y+2 [mm] +\lambda((x-1)^{2}+4y^{2}-8)
[/mm]
grad [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] \vektor{3y +2x\lambda -2\lambda \\ 3x-3+8y\lambda\\x^{2}-2x-7+4y^{2}}=\vektor{0 \\ 0\\0}
[/mm]
das lineare GLS ist jetzt so kompliziert das ich auch nicht weiterkomme :-(
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Hallo StevieG,
nur eine kleine andere Idee:
Probiere mal nicht y, sondern x-1 zu ersetzen. Und zwar so:
[mm] \qquad [/mm] $ [mm] (x-1)^{2} +4y^{2}=8 \gdw |x-1|=\sqrt{8-4y^2}=2\sqrt{2-y^2}$
[/mm]
Das sieht so aus, als ob es einfacher wird.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 12.03.2011 | | Autor: | StevieG |
f(x) = [mm] 3(2\wurzel{2-y^{2}})y+2
[/mm]
f´(x)= [mm] 6\wurzel{2-y^{2}} -\bruch{6y}{\wurzel{2-y^{2}}} [/mm] = 0
=> [mm] y^{2} [/mm] +y -2 = 0
y1 = 1
y2 = -2
beide werte in f(x)
P1(1/8)
P2(-2/-22)
in der AUfgabenstellung ist von 4 Extrema die rede?
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Hi,
> f(x) = [mm]3(2\wurzel{2-y^{2}})y+2[/mm]
>
> f´(x)= [mm]6\wurzel{2-y^{2}} -\bruch{6y\red{^2}}{\wurzel{2-y^{2}}}[/mm] = 0
Achtung hier ist noch ein Ableitungsfehler.
>
> => [mm]y^{2}[/mm] +y -2 = 0
>
> y1 = 1
> y2 = -2
>
>
> beide werte in f(x)
>
> P1(1/8)
> P2(-2/-22)
>
>
> in der AUfgabenstellung ist von 4 Extrema die rede?
[mm] |x-1|=2\wurzel{2-y^{2}} [/mm] bedeutet, du musst eine Fallunterscheidung machen. Der zweite Fall [mm] x-1=-2\wurzel{2-y^{2}} [/mm] wurde von dir noch nicht berücksichtigt.
>
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Sa 12.03.2011 | | Autor: | StevieG |
=> [mm] y^{2} [/mm] -1 = 0
[mm] y^{2} [/mm] = 1 y1= 1 und y2=-1
mir ist aufgefallen das wenn ich die beiden y1 und y2 in f(x) eingebe erhalte ich die Höhe in z- Richtung
bei y1 ist die Höhe 8
bei y2 ist die Höhe -4
die x-Koordinaten zu den dahörigen y-Werten bekomme ich wie?
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Hallo StevieG,
> => [mm]y^{2}[/mm] -1 = 0
>
> [mm]y^{2}[/mm] = 1 y1= 1 und y2=-1
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> mir ist aufgefallen das wenn ich die beiden y1 und y2 in
> f(x) eingebe erhalte ich die Höhe in z- Richtung
>
> bei y1 ist die Höhe 8
> bei y2 ist die Höhe -4
>
>
> die x-Koordinaten zu den dahörigen y-Werten bekomme ich
> wie?
>
Die zugehörigen x-Werte erhältst Du gemäß der Gleichung
[mm]x-1=2\wurzel{2-y^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 12.03.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst sogar x-1 ersetzen, da in f(x;y) genau diese Differenz gefordert ist.
Marius
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