Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Bestimme die lokalen Extrema unter den Nebenbedingungen:
a)f(x,y)= [mm] \bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}, x^2+y^2=1, [/mm] a,b>0
[mm] b)f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3, [/mm] x+y+z=a, a>0, [mm] x\ge0, y\ge0, z\ge0 [/mm] |
Hallo,
damit ich die Aufgabe richtig lösen kann, müsste mir wohl zunächst jemand erklären, was es genau mit den Nebenbedingungen auf sich hat!
In der Literatur habe ich nur gefunden, dass ich die NB entweder auflösen muss oder die Lagrange Multiplikatoren verwenden kann. Aber damit habe ich eben noch keine Ahnung, wie ich wann was anwende!
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand Tipps geben könnte!
Besten Dank und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mi 12.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimme die lokalen Extrema unter den Nebenbedingungen:
> a)f(x,y)= [mm]\bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}, x^2+y^2=1,[/mm] a,b>0
> [mm]b)f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3,[/mm] x+y+z=a, a>0, [mm]x\ge0, y\ge0, z\ge0[/mm]
>
> Hallo,
>
> damit ich die Aufgabe richtig lösen kann, müsste mir wohl
> zunächst jemand erklären, was es genau mit den
> Nebenbedingungen auf sich hat!
Hallo,
Der Graph der Funktion f(x,y) ist doch eine irgendwie gewölbte Fläche, die sicher teils über, teils unter der x-y-Ebene liegt. Du sollst aber nicht von dieser gesamten Fläche die Hoch- bzw. Tiefpunkte finden, sondern nur für die Paare (x,y), deren Abstand zur z-Achse gleich 1 ist [mm] (x^2+y^2=1 [/mm] beschreibt einen Kreis). Du schreitest sozusagen die Kreislinie ab und suchst nach tiefsten / höchsten Stellen.
Gruß Abakus
> In der Literatur habe ich nur gefunden, dass ich die NB
> entweder auflösen muss oder die Lagrange Multiplikatoren
> verwenden kann. Aber damit habe ich eben noch keine
> Ahnung, wie ich wann was anwende!
>
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand Tipps geben könnte!
> Besten Dank und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Bei a) würde ich Lagrange vorschlagen, denn die Nebenbedingung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] lässt sich nicht "geschlossen" nach x oder y auflösen.
Bei b) löse die NB x+y+z=a nach z auf und Du hast nur noch eine Funktion von 2 Var. auf Extrema zu untersuchen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Do 13.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Bei a) würde ich Lagrange vorschlagen, denn die
> Nebenbedingung [mm]x^2+y^2=1[/mm] lässt sich nicht "geschlossen"
> nach x oder y auflösen.
Aber wie wäre es denn mit einer Transformation in Polarkoordinaten?
Also [mm] y=sin\phi [/mm] und [mm] x=cos\phi [/mm] ?
Dann ist es einfach eine Extremwertaufgabe mit [mm] \phi.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Bei b) löse die NB x+y+z=a nach z auf und Du hast nur
> noch eine Funktion von 2 Var. auf Extrema zu untersuchen
>
> FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 13.05.2010 | | Autor: | gigi |
> Aber wie wäre es denn mit einer Transformation in
> Polarkoordinaten?
> Also [mm]y=sin\phi[/mm] und [mm]x=cos\phi[/mm] ?
> Dann ist es einfach eine Extremwertaufgabe mit [mm]\phi.[/mm]
> Gruß Abakus
ich schreibe also [mm] f(\phi)= \bruch{cos\phi}{a}+\bruch{sin\phi}{b} [/mm] und [mm] f_{\phi}=\bruch{-sin\phi}{a}+\bruch{cos\phi}{b} [/mm] muss 0 sein. wie löse ich das denn auf, wenn a,b unbekannt sind?
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Do 13.05.2010 | | Autor: | abakus |
> > Aber wie wäre es denn mit einer Transformation in
> > Polarkoordinaten?
> > Also [mm]y=sin\phi[/mm] und [mm]x=cos\phi[/mm] ?
> > Dann ist es einfach eine Extremwertaufgabe mit [mm]\phi.[/mm]
> > Gruß Abakus
>
> ich schreibe also [mm]f(\phi)= \bruch{cos\phi}{a}+\bruch{sin\phi}{b}[/mm]
> und [mm]f_{\phi}=\bruch{-sin\phi}{a}+\bruch{cos\phi}{b}[/mm] muss 0
> sein. wie löse ich das denn auf, wenn a,b unbekannt sind?
>
> gruß und dank
Wie man das halt so macht... eine Lösung in Abhängigkeit von a und b angeben.
Tipp: Multipliziere [mm]0=\bruch{-sin\phi}{a}+\bruch{cos\phi}{b}[/mm] mit [mm] \bruch{a}{cos\phi} [/mm] .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 13.05.2010 | | Autor: | gigi |
ah, ja, danke. ich erhalte [mm] \phi^0= [/mm] arctan [mm] \bruch{a}{b}. [/mm] das in die 2.ableitung eingesetzt wird für a,b>0 immer <0. folglich liegt ein maximum vor.
stimmt das? dann habe ich nur noch das problem, wieder nach x, y umzuformen, da steht dann: [mm] x=cos(arctan\bruch{a}{b}) [/mm] und [mm] y=sin(arctan\bruch{a}{b}). [/mm] darüber weiß ich, dass es postitiv ist, aber ich kann es nicht weiter auflösen, oder?
gruß und dank
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Hallo gigi,
> ah, ja, danke. ich erhalte [mm]\phi^0=[/mm] arctan [mm]\bruch{a}{b}.[/mm] das
> in die 2.ableitung eingesetzt wird für a,b>0 immer <0.
> folglich liegt ein maximum vor.
Genau genommen, gibt es hier periodische Lösungen:
[mm]\phi^{k}=k*\pi+\arctan\left(\bruch{a}{b}.\right)[/mm]
Im Intervall [mm]\left[0;2\pi[[/mm] gibt es demnach zwei Lösungen:
[mm]\phi^{0}=0*\pi+\arctan\left(\bruch{a}{b}.\right)=\arctan\left(\bruch{a}{b}.\right)[/mm]
[mm]\phi^{1}=1*\pi+\arctan\left(\bruch{a}{b}.\right)[/mm]
Diese Werte sind dann auf die Art des Extremas zu untersuchen.
> stimmt das? dann habe ich nur noch das problem, wieder
> nach x, y umzuformen, da steht dann:
> [mm]x=cos(arctan\bruch{a}{b})[/mm] und [mm]y=sin(arctan\bruch{a}{b}).[/mm]
> darüber weiß ich, dass es postitiv ist, aber ich kann es
> nicht weiter auflösen, oder?
Mache Dir die Beziehung [mm]\tan\left(u\right)=\bruch{\sin\left(u\right)}{\cos\left(u\right)}[/mm] zu nutze,
um den Cosinus bzw. Sinus als Funktion vom Tangens auszudrücken.
>
> gruß und dank
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Fr 14.05.2010 | | Autor: | abakus |
> ah, ja, danke. ich erhalte [mm]\phi^0=[/mm] arctan [mm]\bruch{a}{b}.[/mm] das
> in die 2.ableitung eingesetzt wird für a,b>0 immer <0.
> folglich liegt ein maximum vor.
Hallo,
es ist doch seltsam, wenn du bei der Umkreisung der z-Achse nur einen höchsten, aber keinen tiefsten Punkt auf deinem Weg hast?
Auf Anhieb fällt mir im Moment nur ein, dass mein Tipp (Multiplikation mit [mm] a/cos\phi [/mm] ) nur dann angewendet werden darf, wenn [mm] cos\phi [/mm] nicht Null ist.
Gruß Abakus
> stimmt das? dann habe ich nur noch das problem, wieder
> nach x, y umzuformen, da steht dann:
> [mm]x=cos(arctan\bruch{a}{b})[/mm] und [mm]y=sin(arctan\bruch{a}{b}).[/mm]
> darüber weiß ich, dass es postitiv ist, aber ich kann es
> nicht weiter auflösen, oder?
>
> gruß und dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 13.05.2010 | | Autor: | gigi |
> Bei a) würde ich Lagrange vorschlagen, denn die
> Nebenbedingung [mm]x^2+y^2=1[/mm] lässt sich nicht "geschlossen"
> nach x oder y auflösen.
>
> Bei b) löse die NB x+y+z=a nach z auf und Du hast nur
> noch eine Funktion von 2 Var. auf Extrema zu untersuchen
genau das habe ich auch versucht, war mir nur nicht ganz sicher- ich muss dann tatsächlich auch nur nach x und nach y ableiten, richtig? wenn ich das gleich 0 setze, erhalte ich ein eventuelles extremum in [mm] x^0 [/mm] = [mm] (\wurzel{\bruch{1}{3}}, \wurzel{\bruch{1}{3}}, a-2\wurzel{\bruch{1}{3}}). [/mm] stimmt das soweit?
anschließend bilde ich [mm] f_{xx}=6x [/mm] >0, da [mm] x\ge0. [/mm] mit [mm] f_{xx}(x^0)f_{yy}(x^0)-f_{xy}^2(x^0)=12>0 [/mm] erhalte ich folglich ein relatives minimum.
richtig?
> FRED
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Hallo gigi,
> > Bei a) würde ich Lagrange vorschlagen, denn die
> > Nebenbedingung [mm]x^2+y^2=1[/mm] lässt sich nicht "geschlossen"
> > nach x oder y auflösen.
> >
> > Bei b) löse die NB x+y+z=a nach z auf und Du hast nur
> > noch eine Funktion von 2 Var. auf Extrema zu untersuchen
>
>
> genau das habe ich auch versucht, war mir nur nicht ganz
> sicher- ich muss dann tatsächlich auch nur nach x und nach
> y ableiten, richtig? wenn ich das gleich 0 setze, erhalte
> ich ein eventuelles extremum in [mm]x^0[/mm] =
> [mm](\wurzel{\bruch{1}{3}}, \wurzel{\bruch{1}{3}}, a-2\wurzel{\bruch{1}{3}}).[/mm]
> stimmt das soweit?
Leider nicht.
> anschließend bilde ich [mm]f_{xx}=6x[/mm] >0, da [mm]x\ge0.[/mm] mit
> [mm]f_{xx}(x^0)f_{yy}(x^0)-f_{xy}^2(x^0)=12>0[/mm] erhalte ich
> folglich ein relatives minimum.
> richtig?
Die möglichen Extrema sind alle vom Parameter a abhängig.
> > FRED
>
Gruss
MathePower
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