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| Aufgabe | Sei V = [mm] \IR^2, [/mm] u = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] und U = <u> der von u erzeugte Untervektorraum von V.
Die Nebenklasse eines Elementes v [mm] \in [/mm] V in V/U bezeichnen wir mit [v].
(a) Bestimmen Sie alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] für die gilt:
[mm] \lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right] [/mm] = [mm] \left[\vektor{0 \\ 1}\right]
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass die Menge
W = [mm] \{A \in \IR^{2x2} | U \subset Kern(A)\} [/mm] ein Untervektorraum von [mm] \IR^{2x2} [/mm] ist
(c) Bestimmen Sie die Dimension von W |
Zu Teilaufgabe (a)
da wir ja in Modulo U sind, habe hier wie folgt in V gerechnet
[mm] \lambda\vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm]
dann beträgt ja [mm] \lambda [/mm] = 2k , aber wie zeige ich dass rechnerisch und stimmt es denn überhaupt?
Zu (b) und (c) habe ich leider keinen Ansatz
könnt ihr mir helfen, am besten wäre eine Musterlösung mit Erklärung, weil so ähnliche Aufgaben in der Klausur vorkommen werde.
Liebe Grüße
Johanna
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> Sei V = [mm]\IR^2,[/mm] u = [mm]\vektor{2 \\
1}[/mm] und U =[mm] [/mm] der von u
> erzeugte Untervektorraum von V.
> Die Nebenklasse eines Elementes v [mm]\in[/mm] V in V/U bezeichnen
> wir mit [v].
>
> (a) Bestimmen Sie alle [mm]\lambda \in \IR[/mm] für die gilt:
>
> [mm]\lambda\left[\vektor{1 \\
0}\right][/mm] = [mm]\left[\vektor{0 \\
1}\right][/mm]
>
> (b) Zeigen Sie, dass die Menge
> W = [mm]\{A \in \IR^{2x2} | U \subset Kern(A)\}[/mm] ein
> Untervektorraum von [mm]\IR^{2x2}[/mm] ist
>
> (c) Bestimmen Sie die Dimension von W
> Zu Teilaufgabe (a)
>
> da wir ja in Modulo U sind, habe hier wie folgt in V
> gerechnet
>
> [mm]\lambda\vektor{1 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm] + [mm]\vektor{2 \\
1}[/mm]
Hallo,
mir ist nicht so recht klar, was Du hier tust.
Welche Sätze/Eigenschaften verwendest Du?
>
> dann beträgt ja [mm]\lambda[/mm] = 2k , aber wie zeige ich dass
> rechnerisch und stimmt es denn überhaupt?
Schauen wir mal.
Wir sollen sagen, für welche [mm] \lambda [/mm] die Aussage [mm] $\lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right]$ [/mm] = [mm] $\left[\vektor{0 \\ 1}\right]$ [/mm] richtig ist.
Jetzt sollte man sich erstmal überlegen, was überhaupt [mm] \lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right] [/mm] sein soll.
Es ist eine Äquivalenzklasse, nämlich
[mm] \lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right]=\left[\lambda\vektor{1 \\ 0}\right].
[/mm]
Du müßt jetzt also überlegen, für welches [mm] \lambda [/mm] gilt
[mm] \left[\lambda\vektor{1 \\ 0}\right]=$\left[\vektor{0 \\ 1}\right]$.
[/mm]
Wann sind zwei Äquivalenzklassen gleich?
Was bedeutet das für Deine Aufgabe?
>
> Zu (b) und (c) habe ich leider keinen Ansatz
Zunächst zu b):
sag' mal genau, woran es scheitert. Was verstehst Du nicht?
Was muß man für "Unterraum" zeigen?
LG Angela
>
> könnt ihr mir helfen, am besten wäre eine Musterlösung
> mit Erklärung, weil so ähnliche Aufgaben in der Klausur
> vorkommen werde.
>
> Liebe Grüße
>
> Johanna
>
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Ich habe es jetzt wie folgt weitergeführt
z.z.: [mm] \lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right] [/mm] = [mm] \left[\vektor{0 \\ 1}\right]
[/mm]
Beweis: [mm] \lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right] [/mm] = [mm] \left[\vektor{0 \\ 1}\right]
[/mm]
1. Schritt: [mm] \lambda\left[\vektor{1 \\ 0}\right]=\left[\lambda\vektor{1 \\ 0}\right]
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left[\lambda\vektor{1 \\ 0}\right] [/mm] = [mm] \left[\vektor{0 \\ 1}\right]
[/mm]
Da gilt: [mm] [v_1] [/mm] = [mm] [v_2] \Rightarrow v_1 [/mm] - [mm] v_2 \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow \left[\lambda\vektor{1 \\ 0}\right] [/mm] - [mm] \left[\vektor{0 \\ 1}\right]= \left[\vektor{2 \\ 1}\right] [/mm]
[mm] \lambda \vektor{1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 2
zu b)
W = [mm] \{A \in \IR^{2x2} | U \subset Kern(A)\}
[/mm]
Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
Dann gilt: A [mm] \in [/mm] W Au=0
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{ 2 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2a + b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -2a = b
2c + d = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -2c = d
[mm] \Rightarrow \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] = W (a,c [mm] \in \IR) [/mm]
z.z: W Unterraum von [mm] \IR^{2x2}
[/mm]
Beweis:
1. z.z.: 0 [mm] \in [/mm] W : 0 [mm] \in \IR^{2x2} \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] W
2. z.z.: A,B [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] A+B [mm] \in [/mm] W: A= [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c }, [/mm] B = [mm] \pmat{ b & -2b \\ d & -2d } \in [/mm] W
A+B = [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] + [mm] \pmat{ b & -2b \\ d & -2d } [/mm] = [mm] \pmat{ a+b & -2a+(-2b) \\ c+d & -2c+(-2d) } [/mm] = [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] + [mm] \pmat{ b & -2b \\ d & -2d } [/mm] = A + B [mm] \Rightarrow [/mm] A + B [mm] \in [/mm] W
3. z.z.: A [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in \IR \Rightarrow \lambda [/mm] A [mm] \in [/mm] W :
[mm] \lambda \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda a & \lambda -2a \\ \lambda c & \lambda -2c } [/mm] = [mm] \lambda \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] = [mm] \lambda [/mm] A
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] A [mm] \in [/mm] W
Ist es denn so richtig zu Teilaufgabe b
zu (c)
A = [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } \vektor{ x \\ y } [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] xa -2ya = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] xa=2ya [mm] \Rightarrow [/mm] x=2y
xc - 2yc = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2y
[mm] \Rightarrow \vektor{ 2y \\ y } [/mm] = y [mm] \vektor{ 2 \\ 1 } [/mm]
Also existiert nur eine Basis und die Dimension beträgt = 1
stimmt das denn so?
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Hallo,
fangen wir mal am Ende von a) an.
Du schreibst:
> [mm] $\lambda \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] - [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] = [mm] $\vektor{2 \\ 1}$
[/mm]
>
> [mm] $\Rightarrow \lambda$ [/mm] = 2
Diese Folgerung stimmt zwar,
aber ist Dir aufgefallen, daß Du mit [mm] \lambda=2 [/mm] keine Lösung der Gleichung [mm] $\lambda \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] - [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] = [mm] $\vektor{2 \\ 1}$ [/mm] gefunden hast?
> Ich habe es jetzt wie folgt weitergeführt
>
> z.z.: [mm]\lambda\left[\vektor{1 \\
0}\right][/mm] =
> [mm]\left[\vektor{0 \\
1}\right][/mm]
>
> Beweis: [mm]\lambda\left[\vektor{1 \\
0}\right][/mm] =
> [mm]\left[\vektor{0 \\
1}\right][/mm]
>
> 1. Schritt: [mm]\lambda\left[\vektor{1 \\
0}\right]=\left[\lambda\vektor{1 \\
0}\right][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left[\lambda\vektor{1 \\
0}\right][/mm] =
> [mm]\left[\vektor{0 \\
1}\right][/mm]
>
> Da gilt: [mm][v_1][/mm] = [mm][v_2] \Rightarrow v_1[/mm] - [mm]v_2 \in[/mm] U
Genau.
>
>
> [mm]\Rightarrow \left[\lambda\vektor{1 \\
0}\right][/mm] - [mm]\left[\vektor{0 \\
1}\right]= \left[\vektor{2 \\
1}\right][/mm]
>
> [mm]\lambda \vektor{1 \\
0}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
1}[/mm]
Das stimmt so nicht.
Es muß gelten, daß [mm] $\lambda \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] - [mm] $\vektor{0 \\ 1}$\in $<\vektor{2 \\ 1}>$, [/mm] daß also die linke Seite ein Vielfaches der rechten ist.
LG Angela
>
> [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = 2
>
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Danke für die schnellen Hilfestellungen
Dann ist doch [mm] \lambda [/mm] = -2 , da gilt [mm] \vektor{-2 \\ -1} [/mm] = [mm] -1\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
In der Aufgabenstellung heißt es ja alle Lösungen von [mm] \lambda. [/mm] Gibt es denn noch weitere?
[mm] \lambda \vektor{1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1} \in <\vektor{2 \\ 1} [/mm] >
Und konntest du auch auf die Lösungen von Teilaufgabe (b) und (c) schauen
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> [mm] $\lambda \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] - [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ \in $<\vektor{2 \\ 1}$ [/mm]
Hallo,
<==> [mm] $\lambda \vektor{1 \\ 0}$ [/mm] - [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ =k*\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
<==> [mm] \lambda=2k [/mm] und -1=k
<==> [mm] \lambda=-2 [/mm] und k=-1.
> Dann ist doch [mm]\lambda[/mm] = -2 ,
Genau.
> da gilt [mm]\vektor{-2 \\
-1}[/mm] = [mm]-1\vektor{2 \\
1}[/mm]
>
> In der Aufgabenstellung heißt es ja alle Lösungen von
> [mm]\lambda.[/mm] Gibt es denn noch weitere?
Nein, sonst hätten wir die ja gefunden.
LG Angela
>
> [mm]\lambda \vektor{1 \\
0}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\
1} \in <\vektor{2 \\
1}[/mm]
> >
>
> Und konntest du auch auf die Lösungen von Teilaufgabe (b)
> und (c) schauen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu b) und c):
Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Dann gilt: A [mm] \in [/mm] W [mm] \gdw [/mm] Au=0
Zeige, dass dies äquivalent ist zu : b=-2a , d=-2c
Die Elemente von W haben also die Form [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c} [/mm] (a,c [mm] \in \IR).
[/mm]
Für b) mußt Du also zeigen:
sind A und B von obiger Form und sind s,t [mm] \in \IR, [/mm] so ist auch
sA+tB
von obiger Form.
Vielleicht fällt Dir nun auch ein, wie eine Basis von W aussehen könnte.
FRED
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Vielen Dank noch einmal ihr zwei
Fred ich hab dir nochmal das zu Teilaufgabe b kopiert
zu b)
W = [mm] \{A \in \IR^{2x2} | U \subset Kern(A)\}
[/mm]
Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
Dann gilt: A [mm] \in [/mm] W Au=0
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{ 2 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2a + b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -2a = b
2c + d = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -2c = d
[mm] \Rightarrow \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] = W (a,c [mm] \in \IR) [/mm]
z.z: W Unterraum von [mm] \IR^{2x2}
[/mm]
Beweis:
1. z.z.: 0 [mm] \in [/mm] W : 0 [mm] \in \IR^{2x2} \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] W
2. z.z.: A,B [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] A+B [mm] \in [/mm] W: A= [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c }, [/mm] B = [mm] \pmat{ b & -2b \\ d & -2d } \in [/mm] W
A+B = [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] + [mm] \pmat{ b & -2b \\ d & -2d } [/mm] = [mm] \pmat{ a+b & -2a+(-2b) \\ c+d & -2c+(-2d) } [/mm] = [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] + [mm] \pmat{ b & -2b \\ d & -2d } [/mm] = A + B [mm] \Rightarrow [/mm] A + B [mm] \in [/mm] W
3. z.z.: A [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in \IR \Rightarrow \lambda [/mm] A [mm] \in [/mm] W :
[mm] \lambda \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda a & \lambda -2a \\ \lambda c & \lambda -2c } [/mm] = [mm] \lambda \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] = [mm] \lambda [/mm] A
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] A [mm] \in [/mm] W
Ist es denn so richtig zu Teilaufgabe b
zu (c)
A = [mm] \pmat{ a & -2a \\ c & -2c } \vektor{ x \\ y } [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] xa -2ya = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] xa=2ya [mm] \Rightarrow [/mm] x=2y
xc - 2yc = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2y
[mm] \Rightarrow \vektor{ 2y \\ y } [/mm] = y [mm] \vektor{ 2 \\ 1 } [/mm]
Also existiert nur eine Basis und die Dimension beträgt = 1
stimmt das denn so?
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Hallo,
zu zeigen ist:
> W = [mm]\{A \in \IR^{2x2} | U \subset Kern(A)\}[/mm]
mit U:=[mm][/mm]
ist ein Unterraum [mm] der2\times [/mm] 2-Matrizen [mm] über\IR.
[/mm]
>
> Sei [mm]A=\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm]
> Dann gilt: A [mm]\in[/mm] W ==> Au=0
>
> [mm]\pmat{ a & b \\
c & d } \vektor{ 2 \\
1 }[/mm] = [mm]\vektor{ 0 \\
0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2a + b = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] -2a = b
> 2c + d = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] -2c = d
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ a & -2a \\
c & -2c }[/mm] = W (a,c [mm]\in \IR)[/mm]
Ja. Nunwissen wir, wie die Matrizen, welche in W sind, gemacht sind.
>
> z.z: W Unterraum von [mm]\IR^{2x2}[/mm]
>
> Beweis:
> 1. z.z.: 0 [mm]\in[/mm] W : 0 [mm]\in \IR^{2x2} \Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] W
Es stimmt, daß die Nullmatrix in W ist.
Für meinen Geschmack aber stellst Du es nicht überzeugend dar.
Guck mal:
es ist [mm] \pmat{0&0\\0&0}=\pmat{0&-2*0\\0&-2*0}\in [/mm] W.
Dieser Argumentation kann man sich nicht verschließen, oder?
Ähnlich bei den beiden anderen Unterpunkten:
>
> 2. z.z.: A,B [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] A+B [mm]\in[/mm] W:
Seien
>A= [mm]\pmat{ a & -2a \\
c & -2c },[/mm] B = [mm]\pmat{ b & -2b \\
d & -2d } \in[/mm] W
Es ist
>
> A+B = [mm]\pmat{ a & -2a \\
c & -2c }[/mm] + [mm]\pmat{ b & -2b \\
d & -2d }[/mm]
> = [mm]\pmat{ a+b & -2a+(-2b) \\
c+d & -2c+(-2d) }[/mm] = [mm]\pmat{ a & -2a \\
c & -2c }[/mm]
> + [mm]\pmat{ b & -2b \\
d & -2d }[/mm] = A + B [mm]\Rightarrow[/mm] A + B [mm]\in[/mm] W
Dies überzeugt überhaupt gar nicht.
Du schreibst, daß A+B=A+B, und daß deshalb [mm] A+B\in [/mm] W.
Kraus, oder?
Zupfen wir's ein bißchen zurecht, kommt was Gescheites bei raus:
Es ist
> A+B = [mm]\pmat{ a & -2a \\
c & -2c }[/mm] + [mm]\pmat{ b & -2b \\
d & -2d }[/mm]
> = [mm]\pmat{ a+b & -2a+(-2b) \\
c+d & -2c+(-2d) }[/mm]
=[mm]\pmat{ a+b & -2(a+b) \\
c+d & -2(c+d) }[/mm][mm] \in [/mm] W
Bei Punkt 3. ist's exakt dasselbe Problem.
Ich denke, Du kannst es nun alleine richtig formulieren.
>
> 3. z.z.: A [mm]\in[/mm] W, [mm]\lambda \in \IR \Rightarrow \lambda[/mm] A [mm]\in[/mm]
> W :
> [mm]\lambda \pmat{ a & -2a \\
c & -2c }[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda a & \lambda\red{*} -2a \\
\lambda c & \lambda\red{*} -2c }[/mm]
> = [mm]\lambda \pmat{ a & -2a \\
c & -2c }[/mm] = [mm]\lambda[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] A [mm]\in[/mm] W
>
> Ist es denn so richtig zu Teilaufgabe b
>
> zu (c)
Du sollst hier die Dimension von W bestimmen.
Du hattest bereits herausgefunden, daß in W die Matrizen sind, welche von der Machart
A = [mm] $\pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] $ mit [mm] a,c\in\IR [/mm] sind.
Was Du im Folgenden treibst, ist völlig unklar.
Wir halten nochmal fest: in W sind gewisse Matrizen.
Die Vektoren des Vektorraumes W sind also Matrizen.
Du suchst nun eine Basis dieses Raumes.
Was ist eine Basis: ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Oder auch: ein minimales Erzeugendensystem.
Mach Dich nun mal auf die Suche nach einem möglichst kleinen Erzeugendensystem.
Überlege, mit welchen beiden Matrizen Du jede Matrix der Gestalt
A = [mm] $\pmat{ a & -2a \\ c & -2c } [/mm] $ als Linearkombination schreiben kannst.
Diese beiden Matrizen sind dann Deine Basis.
LG Angela
>
> A = [mm]\pmat{ a & -2a \\
c & -2c } \vektor{ x \\
y }[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] xa -2ya = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] xa=2ya [mm]\Rightarrow[/mm] x=2y
> xc - 2yc = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=2y
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{ 2y \\
y }[/mm] = y [mm]\vektor{ 2 \\
1 }[/mm]
> Also existiert nur eine Basis und die Dimension beträgt =
> 1
>
> stimmt das denn so?
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