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| Aufgabe | Man bestimme die rechts- und linksseitigen Nebenklassen von [mm] $U=\{\mathrm{id}, (1,2)(2,3), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)\}$ [/mm] in [mm] $S_4$.
[/mm]
(Kleinsche Vierergruppe) |
Definition
Sei G eine Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe. Dann hat man:
Linksnebenklassen: aH = [mm] l_a(H) [/mm] = {ah | h [mm] \in [/mm] H}
Rechtsnebenklassen: Ha = [mm] r_a(H) [/mm] = {ha | h [mm] \in [/mm] H}
für alle a [mm] \subset [/mm] G.
Ich habe meine Aufgabenstellung und mein Werkzeug (die Definition), doch leider fehlt mir das Verständnis...kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß Julia
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> Man bestimme die rechts- und linksseitigen Nebenklassen von
> [mm]U=\{\mathrm{id}, (1,2)(2,3), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)\}[/mm] in
> [mm]S_4[/mm].
> (Kleinsche Vierergruppe)
>
> Definition
> Sei G eine Gruppe und H [mm]\subset[/mm] G eine Untergruppe. Dann
> hat man:
>
> Linksnebenklassen: aH = [mm]l_a(H)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {ah | h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H}
> Rechtsnebenklassen: Ha = [mm]r_a(H)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {ha | h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H}
>
> für alle a [mm]\subset[/mm] G.
Hallo,
das soll sicher [mm] a\in [/mm] G heißen.
Gut, daß Du die Def. gleich aufgeschieben hast!
Bei Deinem Beispiel ist [mm] G:=S_4, [/mm] H:=U.
Die Nebenklassen erhältst Du nun, indem Du jedes Element von [mm] S_4 [/mm] mit H multiplizierst in der oben angegebenen Weise.
Es ist z.B. [mm] (13)(24)\in S_4.
[/mm]
Eine Nebenklasse ist dann
[mm] (13)(24)*U=\{(13)(24)id, (13)(24)(12)(23), (13)(24)(13)(24), (13)(24)(14)(23)\},
[/mm]
die anderen Nebenklassen berechne entsprechend - natürlich solltest Du Ausdrücke wie (13)(24)(12)(23) noch gescheit aufschreiben, als Produkt elmentfremder Zykeln.
Gruß v. Angela
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Also benötige ich jetzt noch alle $ [mm] a\in S_4 [/mm] $ um die Nebenklassen vollständig zu berechnen, und das Sind:
[mm] S_4 [/mm] := {id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}
a [mm] \in S_4:
[/mm]
[mm] a_1:=(1,2)(3,4)
[/mm]
[mm] a_2:=(1,3)(2,4)
[/mm]
[mm] a_3:=(1,4)(2,3)
[/mm]
(id) gehört nicht dazu weil es keine Nebenklasse erzeugt sondern wieder auf [mm] S_4 [/mm] abbildet, oder?
Was meinst du mit:
(13)(24)(12)(23) als Produkt elmentfremder Zykeln schreiben?
schon mal vielen Dank!
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> Also benötige ich jetzt noch alle [mm]a\in S_4[/mm] um die
> Nebenklassen vollständig zu berechnen,
Hallo,
ja, genau.
>und das Sind:
>
> [mm]S_4[/mm] := {id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}
Nein!
Das, was Du aufgeschrieben hast, ist doch nicht [mm] S_4.
[/mm]
>
> a [mm]\in S_4:[/mm]
>
> [mm]a_1:=(1,2)(3,4)[/mm]
> [mm]a_2:=(1,3)(2,4)[/mm]
> [mm]a_3:=(1,4)(2,3)[/mm]
>
> (id) gehört nicht dazu
Steht in der Definition der Nebenklassen etwas davon, daß [mm] a\not= [/mm] 1 sein darf?
> Was meinst du mit:
>
> (13)(24)(12)(23) als Produkt elmentfremder Zykeln
> schreiben?
Du solltest Dich jetzt erstmal eingehend im Selbststudium mit [mm] S_4 [/mm] beschäftigen und mit den Scheibweisen für Permutationen.
Es ist auch nicht zwingend nötig, daß Du elementfemde Zykeln schreibst, aber auf jeden Fall sollte die Darstellung Deiner Ergebnisse so sein, daß Du klar sehen kannst, welches Element von [mm] S_4 [/mm] Du bei der Verknüpfung erhältst.
Gruß v. Angela
>
> schon mal vielen Dank!
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Okay:
[mm] S_4:= [/mm] { (1)(2)(3)(4), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } oder auch:
[mm] S_4:= [/mm] { id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }
nun habe ich als [mm] a\inS_4:
[/mm]
[mm]a_1:=(1)(2)(3)(4)[/mm]
[mm][mm] a_1:=(12)(34)/mm]
[/mm]
[mm]a_3:=(13)(24)[/mm]
[mm]a_4:=(14)(23)[/mm]
...als Tip habe ich bekommen das es 6 rechts- und 6 linksnebenklassen gibt, ich komme jetzt aber nur auf 4.
> Es ist auch nicht zwingend nötig, daß Du elementfemde
> Zykeln schreibst, aber auf jeden Fall sollte die
> Darstellung Deiner Ergebnisse so sein, daß Du klar sehen
> kannst, welches Element von [mm]S_4[/mm] Du bei der Verknüpfung
> erhältst.
Ich verstehe immer noch nicht was du hiermit meinst. Ich bekomme nach der Definition für Nebenklassen keine Gruppe sondern eine Menge als Ergebnis. Also muss ich das Ergebnis als Menge aufscheiben oder?
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> Okay:
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> [mm]S_4:=[/mm] { (1)(2)(3)(4), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } oder
> auch:
> [mm]S_4:=[/mm] [mm] \{ id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}
[/mm]
Hallo,
wo hast Du das bloß her?
[mm] S_4 [/mm] ist doch die Gruppe der Permutationen von 4 Elementen.
Was habt Ihr denn aufgeschrieben zu [mm] S_4?
[/mm]
>
> nun habe ich als [mm]a\inS_4:[/mm]
> [mm]a_1:=(1)(2)(3)(4)[/mm]
> [mm]a_1:=(12)(34)/mm][/mm]
[mm]a_3:=(13)(24)[/mm]
[mm]a_4:=(14)(23)[/mm]
> ...als Tip habe ich bekommen das es 6 rechts- und 6 linksnebenklassen > gibt, ich komme jetzt aber nur auf 4.
> > Es ist auch nicht zwingend nötig, daß Du elementfemde
> > Zykeln schreibst, aber auf jeden Fall sollte die
> > Darstellung Deiner Ergebnisse so sein, daß Du klar sehen
> > kannst, welches Element von [mm]S_4[/mm] Du bei der Verknüpfung
> > erhältst.
> Ich verstehe immer noch nicht was du hiermit meinst. Ich bekomme nach > der Definition für Nebenklassen keine Gruppe sondern eine Menge als
> Ergebnis.
??? Habe ich gesagt, daß die Nebenklassen Gruppen sind? (Das wäre falsch!)
> Also muss ich das Ergebnis als Menge aufscheiben oder?
Ja, aber Gruppen schreibt man doch auch als Mengen auf. (?)
Irgendwie habe ich den Eindruck, daß wir uns gegenseitig nicht so recht verstehen.
Gruß v. Angela
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