Negation von Aussagen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Majachan |
| Aufgabe | Verneinen Sie folgende Aussagen:
a) Es gibt einen Deckel, der auf jeden Topf paßt.
b) Es gibt einen Topf, so daß für jeden Koch die Suppe kalt wird, wenn sie versalzen ist.
c) Wenn der Koch blau ist, sind die Bohnen nicht gar oder versalzen und die Suppe weder heiß noch schmackhaft. |
Ich steige grade frisch in das Thema ein und würde gerne ein paar Hilfestellungen erhalten. Meine Lösungen:
a) Alle Deckel passen auf keinen Topf.
Klingt leider für mich merkwürdig.
Logischer wäre für mich Kein Deckel passt auf keinen Topf.
Wird aber nicht aus [mm] \neg \exists \Rightarrow \forall [/mm] ?
Ich wäre dankbar wenn mir jemand hierbei helfen könnte.
Wenn ich die erste Begriffen habe werd ich mich an die zweite trauen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 07.09.2014 | | Autor: | ezgisnmz |
ich soll den folgenden Satz verneinen
Alle im März 2013 in Wuppertal zugelassenen Autos der Marke Fiasko verbrauchen mehr als 10 l Benzin pro 100 km
Im Vorkurs Mathe für Ingenieure an der Uni Wuppertal gibt es einen Maschinenbaustudenten der aus Köln oder Dortmund kommt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich soll den folgenden Satz verneinen
es folgen aber zwei Sätze! Zudem: Was ist mit Deinen eigenen Ansätzen?
> Alle im März 2013 in Wuppertal zugelassenen Autos der
> Marke Fiasko verbrauchen mehr als 10 l Benzin pro 100 km
Na, so schwer ist das doch nicht:
Es gibt (mindestens!) ein Auto der Marke Fiasko, dass ... zugelassen wurde
und auf 100km weniger als ... verbraucht.
> Im Vorkurs Mathe für Ingenieure an der Uni Wuppertal gibt
> es einen Maschinenbaustudenten der aus Köln oder Dortmund
> kommt
Naja, wenn es *keinen* gibt, dann gilt doch:
Alle im Vorkurs Mathe für Ingenieure an der Uni Wuppertal studierende
Maschinenbaustudenten kommen weder aus ..., noch aus ... .
Ergänze die Pünktchen! Oder formuliere eigene Vorschläge.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Fr 12.10.2012 | | Autor: | pits |
> Verneinen Sie folgende Aussagen:
> a) Es gibt einen Deckel, der auf jeden Topf paßt.
>
> a) Alle Deckel passen auf keinen Topf.
> Klingt leider für mich merkwürdig.
> Logischer wäre für mich Kein Deckel passt auf keinen
> Topf.
> Wird aber nicht aus [mm]\neg \exists \Rightarrow \forall[/mm] ?
>
Die Aussage es existiert zu verneinen, kann auch bedeutet es existiert nicht. Das würde heißen: Es existiert kein Deckel, der auf alle Töpfe passt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 12.10.2012 | | Autor: | pits |
Beim zweiten nachdenken, vermute ich, dass hier gewollt ist, die Aussage erst mal in formal logische Sprache zu übersetzen:
[mm] $\forall x\in [/mm] D [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] T passt(x,y)$
Dabei ist $D$ die Menge aller Deckel und $T$ die Menge aller Töpfe.
Jetzt kann man das ganze negieren, in dem man aus dem [mm] $\forall$ [/mm] ein [mm] $\exists$ [/mm] macht und umgekehrt und die Aussage mit passt verneint. Mach das mal. Die zugehörige Aussage beginnt dann mit: Zu jeden Deckel (x) existiert ein Topf ...
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:41 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beim zweiten nachdenken, vermute ich, dass hier gewollt
> ist, die Aussage erst mal in formal logische Sprache zu
> übersetzen:
>
> [mm]\forall x\in D \exists y \in T passt(x,y)[/mm]
das ist aber eine andere Aussage: Dort steht: Für alle Deckel gibt es
(mindestens) einen Topf, auf den der Deckel passt.
Richtig wäre hier:
[mm] $\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] D: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] T:$ passt(x,y),
(falsch wäre übrigens: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] T$: [mm] $\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] D$: passt(x,y), denn
das würde nur besagen, dass es für jeden Topf einen zum Topf passenden
Deckel gibt - hier geht es also nicht um den "universellen" Deckel!)
wobei "passt(x,y)" kurz dafür steht, dass die Aussage, dass der Deckel
[mm] $y\,$ [/mm] auf den Topf [mm] $x\,$ [/mm] passt, wahr ist!
P.S.
So sieht man auch, dass das zusammenpasst:
- Es gibt einen Deckel, der auf alle Töpfe passt:
[mm] $\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] D: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] T:$ passt(x,y),
- Es gibt keinen Deckel, der auf alle Töpfe passt -
gleichbedeutend mit: Es gibt für jeden Deckel mindestens einen Topf,
auf den er nicht passt:
[mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] D$ (für jeden Deckel) [mm] $\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] T$ (gibt es (wenigstens) einen Topf so, dass) [mm] $\neg$(passt(x,y)) [i]($y\,$ [/mm] nicht auf [mm] $x\,$ [/mm] passt!)[/i]
Gruß,
Marcel
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Hallo Majachan, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
na, dann wollen wir mal die Verwirrung komplettieren. 
Die formallogische Fragestellung ist hier, die exakte Verneinung zu finden. Ohne Formallogik gibt man sich schnell damit zufrieden, eine Aussage zu finden, die mit der ursprünglichen keine Schnittmenge aufweist.
Also - es liegt vor: Es gibt einen Deckel, der auf jeden Topf passt.
Nun scheinen die folgenden ja alle Negationen zu sein:
1) Es gibt keinen Deckel, der auf jeden Topf passt.
2) Es gibt einen Topf, auf den kein Deckel passt.
3) Alle Deckel passen auf nicht alle Töpfe.
4) Alle Deckel passen auf alle Töpfe bis auf einen (Topf).
5) Es gibt keinen Topf, auf den alle Deckel passen.
6) Zu jedem Deckel gibt es einen Topf, auf den er nicht passt.
7) Es gibt Töpfe, aber es gibt keine Deckel.
8) Es gibt Deckel, aber es gibt keine Töpfe.
9) Deckel und Töpfe existieren in verschiedenen Universen, die zu keiner Zeit irgendeine Überschneidung haben.
10) Es gibt nur Deckel, die auf keinen Topf passen.
11) Es gibt nur Töpfe, auf die kein Deckel passt.
12) Deckel und Töpfe passen niemals zusammen. (eine postfeministische Variante)
Man könnte noch mehr finden, für die gilt: wenn die Aussage (aus 1-12) wahr ist, kann die ursprüngliche nicht wahr sein. Das aber macht die Aussage noch nicht zur Negation.
Folge also dem Tipp von pits und gehe ganz formallogisch vor. Wie heißt die Aussage korrekt übersetzt? Und welche Negationsregel ist dann wie anzuwenden?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 12.10.2012 | | Autor: | pits |
| Aufgabe | | [mm] $\neg(A \Rightarrow [/mm] B) = ? $ |
Bei den Überlegungen zu Majachans Aufgabe b und der ausführlichen Antwort von reverend, stellt sich mir die Frage, wie man die Wenn-Dann-Aussage am schönsten negiert. Es gilt ja (ich habe das mit einer Wahrheisttabelle ausgetüftelt bzw. überprüft):
[mm] (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ((\neg A) \vee B) [/mm]
also ist die Verneinung davon $A [mm] \wedge \neg [/mm] B$
in Textform: A und nicht B.
Gibt es eine andere (schönere) Verneinung von Wenn A dann B? Oder eventuell eine Liste von Verneinungs-/Negationsregeln?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Majachan |
Es gibt einen Deckel (A), der auf jeden Topf paßt.(B)
So wie ich es jetzt verstanden habe würde daraus
A und nicht B werden, also
Es gibt einen Deckel, der nicht auf jeden Topf passt.
Es ist für mich sehr verwirrend.
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Hallo Majachan,
das schließt sich ja nicht aus.
> Es gibt einen Deckel (A), der auf jeden Topf paßt.(B)
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> So wie ich es jetzt verstanden habe würde daraus
> A und nicht B werden, also
>
> Es gibt einen Deckel, der nicht auf jeden Topf passt.
>
> Es ist für mich sehr verwirrend.
Die Rückübersetzung ist hier nicht so einfach, wie Du denkst.
Stell Dir vor, es gebe den unglaublichen und weltberühmten, einzigartigen Deckel, der eben auf jeden Topf passt.
Für alle anderen Deckel stimmt das nicht. Ich habe davon einige im Schrank. Sie passen leider nicht auf jeden Topf.
Es ist beides zugleich möglich! Das kann also nicht die Negation sein.
Was dürft Ihr denn verwenden? Die Regeln der Booleschen Algebra, nehme ich an, oder?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
richtig war übrigens:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
ist das gleiche wie
[mm] $\neg(A) \vee [/mm] B$
und auch die Verneinung davon war richtig.
Nur: Wann würde Dir das was bringen? Naja, wenn hier etwa gefragt worden wäre:
Wie lautet die Verneinung der Folgerung
"Wenn es einen Deckel gibt, der auf alle Töpfe passt, dann gehört der mir!"
> Es gibt einen Deckel (A), der auf jeden Topf paßt.(B)
Die Aussage "Es gibt einen Deckel, der auf jeden Topf passt!"
ist aber nicht $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ würde hier ausgesprochen bedeuten:
"Wenn es einen Deckel gibt, dann passt der (Deckel) auf jeden Topf!"
(Nicht A oder B: Es gibt keinen Deckel, oder der Deckel (den es dann gibt)
passt auf jeden Topf!)
Das ist doch eine vollkommen andere Aussage!
Edit: Sorry, hatte das verwechselt, dazu hattest ja nicht Du, sondern
pits was geschrieben!
Denke es Dir halt so:
Es gibt einen Deckel mit der Eigenschaft, auf jeden Topf zu passen.
Wenn man nun eine Grundmenge [mm] $G\,$ [/mm] hat, und dann setzt:
[mm] $$D:=\{d \in G: d \text{ hat die Eigenschaft }E\}\,,$$
[/mm]
was ist dann $G [mm] \setminus [/mm] D$?
Wenn's unklar ist: Entweder ein Element hat eine Eigenschaft, oder es hat
sie eben nicht.
Nun sei [mm] $D_p:=\{d \text{ ist Deckel:} d \text{ hat die Eigenschaft, auf alle
Töpfe zu passen}\}\,.$ [/mm] Wenn nun [mm] $D=\emptyset$ [/mm] ist: Wie würdest Du das
ausformulieren? (Und ich meine jetzt nicht sowas wie [mm] "$D\,$ [/mm] enthält keine
Elemente" oder [mm] "$D\,$ [/mm] ist leer"!)
Oder, was vielleicht auch hilft: Wie würde [mm] $D_p^c:=\{d: d \text{ ist Deckel}\}\setminus D_p$ [/mm] aussehen? (Es ist also [mm] $G:=\{d: d \text{ ist Deckel}\}$!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\neg(A \Rightarrow B) = ?[/mm]
> Bei den Überlegungen zu
> Majachans Aufgabe b und der ausführlichen Antwort von
> reverend, stellt sich mir die Frage, wie man die
> Wenn-Dann-Aussage am schönsten negiert. Es gilt ja (ich
> habe das mit einer Wahrheisttabelle ausgetüftelt bzw.
> überprüft):
>
> [mm](A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ((\neg A) \vee B)[/mm]
> also ist die Verneinung davon [mm]A \wedge \neg B[/mm]
> in Textform: A und nicht B.
>
> Gibt es eine andere (schönere) Verneinung von Wenn A dann
> B? Oder eventuell eine Liste von
> Verneinungs-/Negationsregeln?
tut zwar gerade nichts zur Sache, aber: Du hast einen Dr. in Mathematik?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\neg(A \Rightarrow B) = ?[/mm]
> Bei den Überlegungen zu
> Majachans Aufgabe b und der ausführlichen Antwort von
> reverend, stellt sich mir die Frage, wie man die
> Wenn-Dann-Aussage am schönsten negiert. Es gilt ja (ich
> habe das mit einer Wahrheisttabelle ausgetüftelt bzw.
> überprüft):
da brauchst Du nichts tüfteln, so wird das üblicherweise definiert.
Natürlich eben passend zu dem, wie man es auch "gewohnt" ist!
> [mm](A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ((\neg A) \vee B)[/mm]
> also ist die Verneinung davon [mm]A \wedge \neg B[/mm]
> in Textform: A und nicht B.
>
> Gibt es eine andere (schönere) Verneinung von Wenn A dann
> B? Oder eventuell eine Liste von
> Verneinungs-/Negationsregeln?
Was stört Dich daran?
Es ist doch klar, dass wegen de Morgan (Logik!) gilt
[mm] $$\neg(A \Rightarrow B)=\neg((\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B [mm] ))=\neg( \neg [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] B)=A [mm] \wedge (\neg [/mm] B)$$
Und die Aussage, dass A wahr und zugleich B falsch sei, ist doch "schön" -
also kurz und prägnant!
Gruß,
Marcel
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