Negationen von Aussagen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | a) Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist gerade" an.
b) Geben Sie durch Negation der Aussage, in a), eine Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist nicht gerade" ist, an.
c) Begründen Sie genau, anhand der Aussage von b), warum [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht gerade ist. |
| Aufgabe 2 | a) Sei [mm] p\in\IR. [/mm] Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist p-periodisch" an.
b) Geben Sie, durch der Negation der Aussage in a), eine Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist nicht periodisch" ist.
c) Begründen Sie genau, anhand der von Ihnen in b) hergeleiteten Aussage, warum [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht 1-periodisch ist. |
| Aufgabe 3 | Geg. ist folgende Definition: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] heißt kausal, wenn für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].
a) Geben Sie durch der Negation dieser Definition an, wann eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] nicht kausal ist (vollständiger Satz!).
b) Weisen mit Ihrem Ergebnis aus a) nach, dass [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] def. durch [m]f(x) := x^2[/m] nicht kausal ist. |
Hallo zusammen!
Ich möchte hier versuchen die Aufgaben zu lösen, wobei gesagt werden muss, dass sehr hoher Wert auf das (korrekte) formale Aufschreiben (allerdings ohne Quantoren) gelegt wird.
Vorab: Es soll grundsätzlich folgendermaßen vorgegangen werden:
- Benennung der Ursprungsaussage (in diesem Fall die Definition)
- Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-aussageformen
- Formale Angabe der Aussage mittels logischer Operatoren
- Negation (ggf. durch Anwendung der De Morganschen Gesetze)
- Angabe der negierten Aussage in Worten
Aufgabe 1)
a) Def. gerade Funktion:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt gerade, wenn für alle x gilt: [m]f(x) = f(-x)[/m]
Wie würde man diese Definition vorlesen?
Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann gerade, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x ist gleich dem negativen Funktionswert an der Stelle x. (?)
b) Benennung der Aussage (siehe Definition)
Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist gerade
B (x): f(x) = f(-x) ( Aussageform, daher B(x) )
Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
[m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)
Negation
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg B(x)[/m]
Negation in Worten:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht gerade, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das gilt: [m] f(x) \ne f(-x) [/m]
c) Sei [m]x = 2[/m]. Dann ist: [m]f (-2) = e^-2 \approx 0.135[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m] und damit ist [m]f(2) \ne f(-2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m] ist nicht gerade.
Aufgabe 2)
a) Def. periodische Funktion:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt p-periodisch, wenn [m]f(x+p) = f(x)[/m] für alle [m]x \in \IR[/m] gilt.
Wie würde man diese Definition vorlesen?
Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau p-periodisch, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x plus p ist gleich dem(selbigen?) Funktionswert an der Stelle x. (?)
b) Benennung der Aussage (siehe Definition)
Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist p-periodisch
B (x): f(x+p) = f(x) ( Aussageform, daher B(x) )
Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
[m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)
Negation
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg B(x)[/m]
Negation in Worten:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht p-periodisch, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das gilt: [m] f(x+p) \ne f(x) [/m]
c) Sei [m]x = 2, p = 1[/m] (p = 1, lt. Aufgabenstellung). Dann ist: [m]f (2 + 1) = e^3 \approx 20.086[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m] und damit ist [m]f(2+1) \ne f(2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m] ist nicht 1-periodisch.
Aufgabe 3)
Def. kausale Funktion:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] heißt kausal, wenn für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].
Wie würde man diese Definition vorlesen?
Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann kausal, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
Wenn x kleiner ist als 0, dann ist der Funktionswert an der Stelle x gleich 0.
a) Benennung der Aussage (siehe Definition)
Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist kausal
B: x < 0
C: f(x) = 0
Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
[m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B [mm] \Rightarrow [/mm] C
Negation (De Morgansche Gesetze)
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg (B \Rightarrow C) \gdw \neg(\neg B \vee C) \gdw (B \wedge \neg C) [/m]
(...ist das Äquivalenzzeichen oben zulässig?)
Negation in Worten:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht kausal, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das gilt: [m] x < 0 \wedge f(x) \ne 0 [/m]
b) c) Sei [m]x = -2[/m] (siehe Vor.: x < 0). Dann ist: [m]f (-2) = (-2)^2 = 4[/m] und damit ist [m]f(2) \ne 0[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := x^2[/m] ist nicht gerade.
Bitte um Feedback bzw. Verbesserungsvorschläge, insbesondere was die Schreibweise, Formulierung und Vollständigkeit angeht.
Vielen Dank im voraus!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 So 09.03.2014 | | Autor: | gummibaum |
Niemand? :)
So schwer sind die Aufgaben doch nicht oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 Di 11.03.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> a) Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist
> gerade" an.
>
> b) Geben Sie durch Negation der Aussage, in a), eine
> Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m]
> ist nicht gerade" ist, an.
>
> c) Begründen Sie genau, anhand der Aussage von b), warum
> [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht
> gerade ist.
> a) Sei [mm]p\in\IR.[/mm] Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m]
> ist p-periodisch" an.
>
> b) Geben Sie, durch der Negation der Aussage in a), eine
> Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m]
> ist nicht periodisch" ist.
>
> c) Begründen Sie genau, anhand der von Ihnen in b)
> hergeleiteten Aussage, warum [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben
> durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht 1-periodisch ist.
> Geg. ist folgende Definition: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m]
> heißt kausal, wenn für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].
>
> a) Geben Sie durch der Negation dieser Definition an, wann
> eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] nicht kausal ist
> (vollständiger Satz!).
>
> b) Weisen mit Ihrem Ergebnis aus a) nach, dass [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m]
> def. durch [m]f(x) := x^2[/m] nicht kausal ist.
> Hallo zusammen!
>
> Ich möchte hier versuchen die Aufgaben zu lösen, wobei
> gesagt werden muss, dass sehr hoher Wert auf das (korrekte)
> formale Aufschreiben (allerdings ohne Quantoren) gelegt
> wird.
>
> Vorab: Es soll grundsätzlich folgendermaßen vorgegangen
> werden:
>
> - Benennung der Ursprungsaussage (in diesem Fall die
> Definition)
> - Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-aussageformen
> - Formale Angabe der Aussage mittels logischer Operatoren
> - Negation (ggf. durch Anwendung der De Morganschen
> Gesetze)
> - Angabe der negierten Aussage in Worten
>
> Aufgabe 1)
>
> a) Def. gerade Funktion:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt gerade, wenn
> für alle x gilt: [m]f(x) = f(-x)[/m]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie würde man diese Definition vorlesen?
> Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann
> gerade, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
> Der Funktionswert an Stelle x ist gleich dem negativen
> Funktionswert an der Stelle x. (?)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
"auf" benutzt man, wenn die Funktion f surjektiv ist.
Der zweite Satz würde bedeuten: $f(x) = -f(x)$.
Eine Funktion f von [m]\IR[/m] nach [m]\IR[/m], heißt genau dann
gerade, wenn für alle [m]x[/m] aus (oder Element) [m]\IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x ist gleich dem Funktionswert
an der Stelle des negativen von x.
>
> b) Benennung der Aussage (siehe Definition)
>
> Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
>
> A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist gerade
> B (x): f(x) = f(-x) ( Aussageform, daher B(x) )
>
> Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
> [m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)
>
> Negation
> [m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
> gilt: [m]\neg B(x)[/m]
>
> Negation in Worten:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht
> gerade, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das
> gilt: [m]f(x) \ne f(-x)[/m]
>
> c) Sei [m]x = 2[/m]. Dann ist: [m]f (-2) = e^-2 \approx 0.135[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m]
> und damit ist [m]f(2) \ne f(-2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m]
> ist nicht gerade.
>
> Aufgabe 2)
>
> a) Def. periodische Funktion:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt p-periodisch,
> wenn [m]f(x+p) = f(x)[/m] für alle [m]x \in \IR[/m] gilt.
>
> Wie würde man diese Definition vorlesen?
> Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau
> p-periodisch, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
> Der Funktionswert an Stelle x plus p ist gleich
> dem(selbigen?) Funktionswert an der Stelle x. (?)
Eine Funktion f von [m]\IR[/m] nach [m]\IR[/m], heißt genau dann
p-periodisch, wenn für alle [m]x[/m] aus [m]\IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x plus p ist gleich
dem Funktionswert an der Stelle x.
>
> b) Benennung der Aussage (siehe Definition)
>
> Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
>
> A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist p-periodisch
> B (x): f(x+p) = f(x) ( Aussageform, daher B(x) )
>
> Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
> [m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)
>
> Negation
> [m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
> gilt: [m]\neg B(x)[/m]
>
> Negation in Worten:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht
> p-periodisch, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für
> das gilt: [m]f(x+p) \ne f(x)[/m]
>
> c) Sei [m]x = 2, p = 1[/m] (p = 1, lt. Aufgabenstellung). Dann
> ist: [m]f (2 + 1) = e^3 \approx 20.086[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m]
> und damit ist [m]f(2+1) \ne f(2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m]
> ist nicht 1-periodisch.
>
>
> Aufgabe 3)
>
> Def. kausale Funktion:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] heißt kausal, wenn
> für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].
>
> Wie würde man diese Definition vorlesen?
> Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann
> kausal, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
> Wenn x kleiner ist als 0, dann ist der Funktionswert an
> der Stelle x gleich 0.
(bis auf schon bei Aufgabe 1 und 2 geändertes)
>
> a) Benennung der Aussage (siehe Definition)
>
> Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
>
> A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist kausal
> B: x < 0
> C: f(x) = 0
>
> Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
> [m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B [mm]\Rightarrow[/mm] C
>
> Negation (De Morgansche Gesetze)
> [m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
> gilt: [m]\neg (B \Rightarrow C) \gdw \neg(\neg B \vee C) \gdw (B \wedge \neg C)[/m]
>
> (...ist das Äquivalenzzeichen oben zulässig?)
Nein, man schreibt es nicht so in einem hintereinader weg.
Erst:
Negation
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg (B \Rightarrow C) [/m]
Umformung der Aussage [mm] $\neg [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] C)$ mit De Morgansche Gesetze:
[m]\neg (B \Rightarrow C) \gdw \neg(\neg B \vee C) \gdw (B \wedge \neg C)[/m]
Daraus folgt:
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
gilt: [m] (B \wedge \neg C)[/m]
>
> Negation in Worten:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht
> kausal, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das
> gilt: [m]x < 0 \wedge f(x) \ne 0[/m]
(Wobei man noch einige mathematische Zeichen aussprechen würde)
>
> b) c) Sei [m]x = -2[/m] (siehe Vor.: x < 0). Dann ist: [m]f (-2) = (-2)^2 = 4[/m]
> und damit ist [m]f(2) \ne 0[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := x^2[/m]
> ist nicht gerade.
nicht kausal!
(sonst ok)
>
>
> Bitte um Feedback bzw. Verbesserungsvorschläge,
> insbesondere was die Schreibweise, Formulierung und
> Vollständigkeit angeht.
>
> Vielen Dank im voraus!!!
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Di 11.03.2014 | | Autor: | gummibaum |
Vielen lieben Dank Melli!
Dann habe ich ja nicht sooo viel falsch gemacht ;)
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