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Forum "Uni-Stochastik" - Negative Hypergeo. Verteilung
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Negative Hypergeo. Verteilung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:34 Mi 10.01.2007
Autor: smee

Aufgabe
Aus einer Urne mit R roten und S schwarzen Kugeln werden solange
zufällig ohne Zurücklegen Kugeln gezogen, bis insgesamt k rote Kugeln gezogen wurden (1 <= k <= R). Die Zufallsvariable [mm] X_k [/mm] bezeichne die Anzahl der nötigen Züge. Bestimmen Sie die Verteilung von [mm] X_k. [/mm]

Hallo!

Zur Vorbereitung auf eine Mathe-Klausur habe ich mich an obige Aufgabe gesetzt und hänge etwas fest. Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

Als Bemerkung ist zusätzlich noch angegeben:

===
Bemerkung: Für [mm]N, M, a \in \IN[/mm], 1 <= a <= M <= N heißt die Verteilung mit der Zähldichte

[mm]h_{N, M, a}(i) = \bruch{\vektor{i-1 \\ a-1} \vektor{N-i \\ M-a}}{\vektor{N \\ M}}[/mm]

für [mm]i \in \IN, a <= i <= N - M + a[/mm] negative hypergeometrische Verteilung zu den Parametern N,M und a.
===

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, muss man nur eine Herleitung für die in der Bemerkung angegebene Formel finden ... Das Ganze müsste ja analog zur negativen Binomialverteilung funktionieren, also:

P(A) :=^ "WS, dass k-1 Kugeln in einer Stichprobe von n-1 Kugeln rot sind"
P(B) :=^ "WS, dass die n. Kugel rot ist"

[mm] P(X_k) [/mm] = P(A) * P(B)

Ist das soweit schon mal korrekt?

Dann wäre also P(A) die Hypergeometrische Verteilung:

[mm]P(A) = \bruch{\vektor{R \\ k-1} \vektor{S \\ n-k}}{\vektor{R+S \\ n-1}}[/mm]

Und P(B) einfach "Restliche Rote Kugeln / Restliche gesamte Kugeln"

[mm]P(B) = \bruch{R-(k-1)}{R+S-(n-1)}[/mm]

Leider komme ich nun beim Rechnen und Herleiten der Formel arg ins Straucheln ... gibt es da irgendwelche Tricks? ;-)

[mm]P(X_k = n) = \bruch{\vektor{R \\ k-1} \vektor{S \\ n-k}}{\vektor{R+S \\ n-1}} * \bruch{R-(k-1)}{R+S-(n-1)} = ... = \bruch{\vektor{R-1 \\ k-1} \vektor{S \\ n-k}}{\vektor{R+S \\ n}}[/mm]

... ??? ...

Es sieht ja nicht soo schwer aus, aber die Binomialkoeffizienten auseinander zu klamüsern bereitet mir doch einiges Kopfzerbrechen.

Viele Grüße,
Carsten

edit: Mir sind zwei kleine Fehler aufgefallen: Es muss bei P(B) ja heißen R-(k-1) bwz. R+S-(n-1) ... (Die Klammern hatte ich vergessen).

        
Bezug
Negative Hypergeo. Verteilung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Do 18.01.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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