Negativer Winkel in Euler-Form < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mo 28.09.2015 | | Autor: | ronnez |
Ich soll die komplexe Zahl z=1-i in Euler-Form( [mm] r*e^{i*\alpha} [/mm] )angeben.
Die Bestimmung von r [mm] =\wurzel{2} [/mm] lassen wir jetzt mal weg, das ist mir klar.
Nun zur Bestimmung des Winkels [mm] \alpha [/mm] :
Ich berechne diesen immer über Kosinus und Sinus.
Berechne ich den über Kosinus, komme ich auf arccos [mm] (1/\wurzel{2})=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Berechne ich den Winkel [mm] \alpha [/mm] über den Sinus, komme ich auf [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] .
Ich bin mir bewusst über die Gleichheit von cos [mm] (\bruch{\pi}{4}) [/mm] = cos [mm] (-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Da aber beide Beziehungen (also die von Sin und die von Cos) gelten muss, nehme ich als Lösung [mm] -\bruch{\pi}{4}).
[/mm]
In Eulerform erhalte ich dann also : [mm] \wurzel{2}e^{i*(-\bruch{\pi}{4})}.
[/mm]
Ich bin trotzdem verwirrt, da ich mich ja im 4 Quadranten befinde und die Winkel dort zwischen [mm] 3/2\pi [/mm] und [mm] 2\pi [/mm] liegen müssen.( da ja die Winkel gegen den Uhrzeigersinn gehen).Also würde ich ich [mm] -\bruch{\pi}{4}+ 2\pi [/mm] rechnen und erhalte als Winkel 7/4 * [mm] \pi.
[/mm]
Welchen Winkel darf ich jetzt in der eulerform bzw. Polarform verwenden ? Also nimmt man im 3. und 4. quadranten den außenwinkel oder innenwinkel ?
Vielen Dank
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Wenn du dir klarmachst, wohin der Zeiger in der komplexen Ebene zeigt, nämlich 45 ° nach rechts unten, müsste dir auch klar werden, dass dieser Winkel gegen die x-Achse sowohl mit [mm] -\pi/4 [/mm] als auch mit [mm] (7/8)\pi [/mm] bezeichnet werden kann. Die Funktion [mm] f(\phi)=e^{i\phi} [/mm] ist nämlich [mm] 2\pi-periodisch, [/mm] du kannst also zu [mm] \phi [/mm] beliebig oft [mm] 2\pi [/mm] zu- oder abzählen.
Die Winkelfunktionen sind aber nicht eindeutig. Im Allgemeinen verwendet man für den Winkel von a + bi (a,b [mm] \in \IR): \phi=arctan(b/a), [/mm] hier [mm] \phi=arctan(-1), [/mm] aber auch das liefert kein eindeutiges Ergebnis, hier [mm] -\pi/4 [/mm] oder [mm] (3/4)\pi. [/mm] Die Umkehrfunktionen der Trigonometrie sind nun mal mehrdeutig, und du musst immer noch anhand der Vorzeichen von a und b entscheiden, welcher Winkel gemeint ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Di 29.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich soll die komplexe Zahl z=1-i in Euler-Form(
> [mm]r*e^{i*\alpha}[/mm] )angeben.
>
> Die Bestimmung von r [mm]=\wurzel{2}[/mm] lassen wir jetzt mal weg,
> das ist mir klar.
>
> Nun zur Bestimmung des Winkels [mm]\alpha[/mm] :
>
> Ich berechne diesen immer über Kosinus und Sinus.
>
> Berechne ich den über Kosinus, komme ich auf arccos
> [mm](1/\wurzel{2})=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> Berechne ich den Winkel [mm]\alpha[/mm] über den Sinus, komme ich
> auf [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] .
>
> Ich bin mir bewusst über die Gleichheit von cos
> [mm](\bruch{\pi}{4})[/mm] = cos [mm](-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Da aber beide Beziehungen (also die von Sin und die von
> Cos) gelten muss, nehme ich als Lösung [mm]-\bruch{\pi}{4}).[/mm]
>
> In Eulerform erhalte ich dann also :
> [mm]\wurzel{2}e^{i*(-\bruch{\pi}{4})}.[/mm]
>
> Ich bin trotzdem verwirrt, da ich mich ja im 4 Quadranten
> befinde und die Winkel dort zwischen [mm]3/2\pi[/mm] und [mm]2\pi[/mm] liegen
> müssen.( da ja die Winkel gegen den Uhrzeigersinn
> gehen).Also würde ich ich [mm]-\bruch{\pi}{4}+ 2\pi[/mm] rechnen
> und erhalte als Winkel 7/4 * [mm]\pi.[/mm]
>
> Welchen Winkel darf ich jetzt in der eulerform bzw.
> Polarform verwenden ? Also nimmt man im 3. und 4.
> quadranten den außenwinkel oder innenwinkel ?
Das hängt davon ab, wie Ihr das Argument einer komplexen Zahl def. habt.
Sei $z [mm] \in \IC$ [/mm] und $z [mm] \ne [/mm] 0$.
1. Möglichkeit: es gibt genau ein [mm] $\alpha \in [/mm] [- [mm] \pi, \pi)$ [/mm] mit
[mm] $z=|z|e^{i \alpha}$.
[/mm]
2. Möglichkeit: es gibt genau ein [mm] $\alpha \in [/mm] [0,2 [mm] \pi)$ [/mm] mit
[mm] $z=|z|e^{i \alpha}$.
[/mm]
Ist $z=1-i$, so bekommt man bei Möglichkeit 1 den Wunkel $ [mm] \alpha [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] $ und bei Möglichkeit 2 den Winkel $ [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{7 \pi}{4} [/mm] $ .
FRED
Nachtrag: das Argument von z ist nur mod $2 [mm] \pi$ [/mm] eindeutig bestimmt. Ist I ein halboffenes Intervall der Länge $2 [mm] \pi$, [/mm] so gilt: es gibt genau ein [mm] \alpha \in [/mm] I mit
[mm] $z=|z|e^{i \alpha}$.
[/mm]
>
> Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Di 29.09.2015 | | Autor: | ronnez |
Das heißt also, dass es erst einmal egal ist. Hauptsache man definiert den Winkel dann immer eindeutig und wechselt nicht zwischen den unterschiedlichen Definitionen.
Ich sehe gerade auch auf dem Übungsblatt und im Skript, dass der Prof auch Winkel> [mm] \pi [/mm] verwendet und [mm] \pi [/mm] immer positiv ist.
Er steht also auf die positiven Winkel ;)
Vielen Dank !!!
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