Nenner soll rational werden < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 29.09.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Formen Sie den folgenden Ausdruck so um, dass der Nenner rational wird:
[mm] \bruch{\wurzel{3-\wurzel{2}}}{\wurzel{3+\wurzel{2}}}
[/mm]
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Hallo Zusammen,
der Nenner soll rational werden, sprich dieser soll durch eine Bruchzahl darstellbar seien, und [mm] \wurzel{2} [/mm] ist irrational lässt sich somit nicht als Bruchzahl darstellen. Also nehme ich die dritte binomische Formel um den Nenner entsprechend umzuformen:
[mm] \bruch{\wurzel{3-\wurzel{2}}}{\wurzel{3+\wurzel{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}
[/mm]
Mein Problem ist nun, was passiert mit der doppelten Wurzel? Wie sieht die weiter Umformung aus?
Vielen Dank
itse
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> Formen Sie den folgenden Ausdruck so um, dass der Nenner
> rational wird:
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> [mm]\bruch{\wurzel{3-\wurzel{2}}}{\wurzel{3+\wurzel{2}}}[/mm]
>
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> Hallo Zusammen,
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> der Nenner soll rational werden, sprich dieser soll durch
> eine Bruchzahl darstellbar seien, und [mm]\wurzel{2}[/mm] ist
> irrational lässt sich somit nicht als Bruchzahl darstellen.
> Also nehme ich die dritte binomische Formel um den Nenner
> entsprechend umzuformen:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{3-\wurzel{2}}}{\wurzel{3+\wurzel{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
Hallo,
[mm] ...=\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})^2}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3-\wurzel{2})} }= [/mm] ...
(Es ist [mm] \wurzel{a}*\wurzel{b}=\wurzel{a*b})
[/mm]
Die im Nenner verbleibende Wurzel bekommst Du weg, indem Du mit ihr erweiterst.
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Ich glaube, es wäre etwas einfacher gewesen, hättest Du zuerst mit [mm] \wurzel{3+\wurzel{2}} [/mm] (aus dem Nenner) erweitert und dann den 3.Binomische-Trick verwendet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 29.09.2008 | | Autor: | itse |
> > Formen Sie den folgenden Ausdruck so um, dass der Nenner
> > rational wird:
> >
> > [mm]\bruch{\wurzel{3-\wurzel{2}}}{\wurzel{3+\wurzel{2}}}[/mm]
> >
> >
> > Hallo Zusammen,
> >
> > der Nenner soll rational werden, sprich dieser soll durch
> > eine Bruchzahl darstellbar seien, und [mm]\wurzel{2}[/mm] ist
> > irrational lässt sich somit nicht als Bruchzahl darstellen.
> > Also nehme ich die dritte binomische Formel um den Nenner
> > entsprechend umzuformen:
> >
> > [mm]\bruch{\wurzel{3-\wurzel{2}}}{\wurzel{3+\wurzel{2}}}[/mm] =
> >
> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
>
> Hallo,
>
> [mm]...=\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})^2}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3-\wurzel{2})} }=[/mm]
> ...
>
> (Es ist [mm]\wurzel{a}*\wurzel{b}=\wurzel{a*b})[/mm]
>
> Die im Nenner verbleibende Wurzel bekommst Du weg, indem Du
> mit ihr erweiterst.
[mm] \bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{(3-\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{11-6\wurzel{2}}}{\wurzel{7}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{(11-6\wurzel{2})(7)}}{(\wurzel{7})^2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{77-42\wurzel{2}}}{7}
[/mm]
oder der andere weg:
> Ich glaube, es wäre etwas einfacher gewesen, hättest Du zuerst mit $ [mm] \wurzel{3+\wurzel{2}} [/mm] $ (aus dem Nenner) erweitert und dann den 3.Binomische-Trick
> verwendet.
[mm] \bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3+\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3+\wurzel{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{(3-\wurzel{2})(3+\wurzel{2})}}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3+\wurzel{2})}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{11+6\wurzel{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{7}(11-6\wurzel{2})}{\wurzel{(11+6\wurzel{2})(11-6\wurzel{2})}} [/mm] = [mm] \bruch{11\wurzel{7}-6\wurzel{14}}{7}
[/mm]
Als Lösung soll [mm] \bruch{3\wurzel{7}-\wurzel{14}}{7} [/mm] rauskommen. Die obere Lösung [mm] \bruch{\wurzel{77-42\wurzel{2}}}{7} [/mm] stimmt vom Wert, es kommt beide male das selbe raus. Jedoch stimmt das untere Ergebnis [mm] \bruch{11\wurzel{7}-6\wurzel{14}}{7} [/mm] nicht. Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank
itse
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> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
> =
Hallo,
Du machst Dir's zu schwer. Im Zähler hast Du doch 'ne Wurzel zum Quadrat, was gibt denn das?
Dasselbe Spielchen bei dem anderen Weg, da ist die Wurzel zum Quadrat im Nenner.
> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3+\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3+\wurzel{2}})}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mo 29.09.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
> > =
>
> Hallo,
>
> Du machst Dir's zu schwer. Im Zähler hast Du doch 'ne
> Wurzel zum Quadrat, was gibt denn das?
Wie sagte mein Mathelehrer so schön, Wurzel aus irgendetwas mal Wurzel aus irgendetwas ergibt irgendetwas.
[mm] \bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{(3-\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}} [/mm] = [mm] \bruch{3-\wurzel{2}}{\wurzel{7}} [/mm] = [mm] \bruch{(3-\wurzel{2})(\wurzel{7})}{(\wurzel{7})^2} [/mm] = [mm] \bruch{3\wurzel{7}-\wurzel{14}}{7} [/mm]
und bei dem anderen geht es genauso. Mich würde trotzdem interessieren, wie man auf dem anderen Weg, sprich die Klammern auszumultiplizieren, auf dieses Ergebnis kommt?
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> Hallo,
>
> >
> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
> > > =
> >
> > Hallo,
> >
> > Du machst Dir's zu schwer. Im Zähler hast Du doch 'ne
> > Wurzel zum Quadrat, was gibt denn das?
>
> Wie sagte mein Mathelehrer so schön, Wurzel aus irgendetwas
> mal Wurzel aus irgendetwas ergibt irgendetwas.
Genau. Der liebe gute Mathelehrer...
man kann sich seiner Worte gar nicht oft genug erinnern.
Der jetzt eingeschlagene Weg ist der gute Weg.
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\wurzel{(3-\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}}[/mm]
> = [mm]\bruch{3-\wurzel{2}}{\wurzel{7}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(3-\wurzel{2})(\wurzel{7})}{(\wurzel{7})^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3\wurzel{7}-\wurzel{14}}{7}[/mm]
>
> und bei dem anderen geht es genauso. Mich würde trotzdem
> interessieren, wie man auf dem anderen Weg, sprich die
> Klammern auszumultiplizieren, auf dieses Ergebnis kommt?
Nun der andere mit ausmultiplizieren.
[mm]\bruch{(\wurzel{3-\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}{(\wurzel{3+\wurzel{2}})(\wurzel{3-\wurzel{2}})}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\wurzel{(3-\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}}{\wurzel{(3+\wurzel{2})(3-\wurzel{2})}}[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{9-2*3*\wurzel{2} + 2}}{\wurzel{7}}=\bruch{\wurzel{11-6*\wurzel{2} }}{\wurzel{7}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{11-6*\wurzel{2} }}{\wurzel{7}}*\bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{7}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{77-42*\wurzel{2} }}{7}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{9*7 +2*7 -2*3*7*\wurzel{2} }}{7}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{(3\wurzel{7})^2 +(\wurzel{14})^2 -2*3*\wurzel{7}*\wurzel{14} }}{7}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{(3\wurzel{7} -\wurzel{14})^2 }}{7}
[/mm]
[mm] =\bruch{3\wurzel{7} -\wurzel{14} }{7}
[/mm]
Gruß v. Angela
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> oder der andere weg:
> [mm]\bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{11+6\wurzel{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{7}(11-6\wurzel{2})}{\wurzel{(11+6\wurzel{2})(11-6\wurzel{2})}}[/mm]
Ich habe den Eindruck, du nimmst zu viele Schritte auf ein Mal, und dadurch verhaspelst du dich dann. Geh doch mal langsamer und Schritt für Schritt vor.
Du hast meines Erachtens beim zweiten Faktor die Wurzel im Zähler vergessen.
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