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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!
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Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:25 Do 19.08.2004
Autor: zwieback86

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hallo, ich möchte auch mal wieder eine neue Aufgabe posten.

Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem

[mm] x^3 = y^2 - 1 [/mm]
[mm] x^2 = y + 1 [/mm]

erfüllen.

Ich habe die Aufgabe selber schon durchgerechnet, doch was mich daran verwundert hat, war der Zeitaufwand. Entweder die Aufgabe ist für die 11-13 Klasse viel zu einfach oder ich hab etwas falsch gemacht. Ich bin gespannt auf eure Lösungen.

mfg.
        
Bezug
Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Do 19.08.2004
Autor: Hanno

Hi.
Naja, nach Division der ersten durch die zweite Gleichung ist der Spuk wegen der dritten binomischen Formel schon vorbei. Hattest du das auch so gemacht?

Gruß,
Hanno
Bezug
                
Bezug
Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Do 19.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

  Naja, nach Division der ersten durch die zweite Gleichung
> ist der Spuk wegen der dritten binomischen Formel schon
> vorbei. Hattest du das auch so gemacht?

Das ist der erste Schritt, ja. Und dann setzt man diese Bedingung ein und kommt auf [...] Lösungen (das lasse ich noch mal offen für andere Schüler).

Liebe Grüße
Stefan  

Bezug
        
Bezug
Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Do 19.08.2004
Autor: Stefan

Hallo Peter!

Der Zeitaufwand (ca. 30 Sekunden ;-)) für die Lösung ist wirklich sehr klein. Mir erscheint die Aufgabe auch sehr einfach. Insofern hast du sie vermutlich richtig gerechnet.

Wer sie von den Schülern versuchen möchte: Schreibt eure Lösungsvorschläge hier rein, wir kontrollieren sie. :-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
        
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Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:02 So 29.08.2004
Autor: Stefan

Hallo zusammen!

Da die Lösung anscheind keiner posten will, muss ich das eben tun:

Eine Lösung ist $(0,-1)$.

Für $x [mm] \ne [/mm] 0$ geht man wie von Hanno beschrieben vor und erhält:

$x=y-1$.

Eingesetzt in die zweite Gleichung liefert das

[mm] $x^2 [/mm] = x+2$,

was die beiden Lösungen [mm] $x_2=2$ [/mm] und [mm] $x_3=-1$ [/mm] (mit dazugehörigen [mm] $y_2=3$ [/mm] und [mm] $y_3=0$) [/mm] hat.

Die drei Lösungen sind also:

$(0,-1)$, $(2,3)$ und $(-1,0)$.


Probe:

[mm] $0^3 [/mm] = 0 = [mm] (-1)^2-1$ [/mm]
[mm] $0^2 [/mm] = 0 = (-1) + 1$

[ok]

[mm] $2^3 [/mm] = 8 = [mm] 3^2 [/mm] - 1$
[mm] $2^2 [/mm] = 4 = 4+1$

[ok]

[mm] $(-1)^3 [/mm] = - 1 = [mm] 0^2 [/mm] - 1$
[mm] $(-1)^2 [/mm] = 1 = 0+1$

[ok]

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
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