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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 10.11.2007 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum und T : X -> X stetig und linear mit ||T|| < 1.
Sei S definiert durch [mm]S := \summe_{n=0}^{\infty}T^n[/mm]
b) S ist linear und stetig |
Hallo,
komme bei der Aufgabe einfach kein stück weiter, obwohl es ja eigentlich nicht so schwer sein kann :(
Wenn S linear ist, so muss doch gelten : S(x+y) = S(x) + S(y) und [mm]S(\lambda x) = \lambda S(x)[/mm]
Aber das bekomme ich einfach nicht hin hoffe jemand kann mir da weiterhelfen ?
Ich hab es bisher immer so probiert:
[mm]S(x+y) = \summe_{n=0}^{\infty}T(x+y)^n =\summe_{n=0}^{\infty}(T(x)+T(y))^n[/mm]
Die stetig kein kann man ja weglassen, denn S ist stetig als komposition stetiger Abbildungen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg
Marc
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Hallo Marc,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wenn S linear ist, so muss doch gelten : S(x+y) = S(x) +
> S(y) und [mm]S(\lambda x) = \lambda S(x)[/mm]
Genau.
> Aber das bekomme ich einfach nicht hin hoffe jemand kann
> mir da weiterhelfen ?
>
> Ich hab es bisher immer so probiert:
>
> [mm]S(x+y) = \summe_{n=0}^{\infty}T(x+y)^n =\summe_{n=0}^{\infty}(T(x)+T(y))^n[/mm]
Hier kann man ja erstmal das Problem zerlegen und ganz von vorn beginnen
[mm] T^2(x)=T(T(x))
[/mm]
Ist das linear und ist dann
[mm] T^{n+1}(x)=T(T^n(x)) [/mm] linear?
Was ist dann mit der Summe?
>
> Die stetig kein kann man ja weglassen, denn S ist stetig
> als komposition stetiger Abbildungen.
Ist [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}x [/mm] irgendwie sinnvoll definiert oder gar stetig? Das unendlich in der Summe stört dieses Argument.
Eine interessante Eigenschaft ![[]](/images/popup.gif) linearer Operatoren ist hier das diese stetig sind wenn Sie beschränkt sind versuche lieber die Beschränktheit zu zeigen.
viele Grüße
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 10.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hallo und danke für deine Antwort.
Ich würde erst einmal wie du gesagt hast damit anfangen zu zeigen, dass
[mm]T^2(x)[/mm] linear ist.
Es gilt :
[mm]T^2(x+y) =T(T(x+y)) = T(T(x)+T(y)) = T(T(x)) + T(T(y)) = T^2(x) + T^2(y)[/mm]
natürlich gilt auch:
[mm]T^2(\lambda x) = T(T(\lambda x)) = T(\lambda T(x)) = \lambda T^2(x)[/mm]
und damit ist [mm] T^2 [/mm] linear
Weiter würde ich dann induktiv verfahren was dann ja kein Problem ist.
...
Nun kommt die Summe ins Spiel. Auch diese ist linear, da ich nun zeigen kann, dass gilt :
[mm]\summe_{i=1}^{n}T^i(x+y) = T(x+y) + T^2(x+y) + ...+T^n(x+y) =T(x)+T(y) + T^2(x) +T^2(y) +....+T^n(x) +T^n(y) = \summe_{i=1}^{n}T^n(x) + T^n(y) = \summe_{i=1}^{n}T^n(x) +\summe_{i=1}^{n}T^n(y)[/mm]
Analog für die homogenität.
Weiter kann ich nun den limes des Summe bilden also:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}T^n [/mm]
und da dies nichts anderes als die geometrische Reihe ist, konvergiert sie gegen [mm]\bruch{1}{1-T}[/mm] da ||T||<1 vorrausgesetzt.
Sie ist also beschränkt und damit habe ich die Stetigkeit gezeigt
Kann ich das so machen ?
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Hallo und danke für deine Antwort.
>
> Ich würde erst einmal wie du gesagt hast damit anfangen zu
> zeigen, dass
> [mm]T^2(x)[/mm] linear ist.
>
> Es gilt :
> [mm]T^2(x+y) =T(T(x+y)) = T(T(x)+T(y)) = T(T(x)) + T(T(y)) = T^2(x) + T^2(y)[/mm]
>
> natürlich gilt auch:
> [mm]T^2(\lambda x) = T(T(\lambda x)) = T(\lambda T(x)) = \lambda T^2(x)[/mm]
>
> und damit ist [mm]T^2[/mm] linear
> Weiter würde ich dann induktiv verfahren was dann ja kein
> Problem ist.
> ...
>
> Nun kommt die Summe ins Spiel. Auch diese ist linear, da
> ich nun zeigen kann, dass gilt :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}T^i(x+y) = T(x+y) + T^2(x+y) + ...+T^n(x+y) =T(x)+T(y) + T^2(x) +T^2(y) +....+T^n(x) +T^n(y) = \summe_{i=1}^{n}T^n(x) + T^n(y) = \summe_{i=1}^{n}T^n(x) +\summe_{i=1}^{n}T^n(y)[/mm]
>
> Analog für die homogenität.
>
>
> Weiter kann ich nun den limes des Summe bilden also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}T^n[/mm]
>
> und da dies nichts anderes als die geometrische Reihe ist,
> konvergiert sie gegen [mm]\bruch{1}{1-T}[/mm] da ||T||<1
> vorrausgesetzt.
> Sie ist also beschränkt und damit habe ich die Stetigkeit
> gezeigt
Vorsicht mit der geometrischen Reihe die gilt ja erstmal nur für Zahlen. Du müßtest schon erst zu den Normen übergehen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Sa 10.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Achja natürlich das würde dann alles in einem Schritt klappen 
Hab nicht die ganze Teilaufgabe gepostet, denn es heißt darin weiter, dass man zeigen soll : [mm][mm] ]||S||\leq \bruch{1}{1-||T||}
[/mm]
Das kann ich ja über die Normen machen und so hab ich dann dies gezeigt und gleichzeitig die Stetigkeit :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:06 So 11.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hallo nochmal,
hab noch eine Frage.
Ich soll zeigen, dass S(x) für alle [mm]x \in X[/mm] wohldefiniert ist.
Soweit ich weiß heißt das, dass für jedes x das Bild S(x) wieder in X liegt.
Bin mir jetzt aber nicht sicher wie ich das zeigen kann.
Mein Gedanke:
Da [mm]T^n(x)[/mm] nicht weiter ist als die n-facher hintereinanderausführung auf x liegt das Ergebnis hiervon wieder in X.
Bildet man nun die Summe darüber so liegt dies auch wieder in x, da ja gilt:
[mm]ist x,y \in X[/mm] so ist auch [mm]x+y \in X[/mm]
Kann ich das so begründen ? Gibt es da einen schöneren Weg ?
Gruß
Marc
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Morgen Marc,
> Da [mm]T^n(x)[/mm] nicht weiter ist als die n-facher
> hintereinanderausführung auf x liegt das Ergebnis hiervon
> wieder in X.
> Bildet man nun die Summe darüber so liegt dies auch wieder
> in x, da ja gilt:
>
> [mm]ist x,y \in X[/mm] so ist auch [mm]x+y \in X[/mm]
Das unendlich in der Summe stört hier wieder. Was man hier hat ist ein normierter Raum X und da liegen die Elemente (hier T) drin deren Norm kleiner als unendlich ist. Also kannst Du Dir
[mm] \| \summe_{n=0}^{\infty}T^n \|[/mm]
anschauen und mußt zeigen das dies kleiner unendlich ist. Mein Tipp wäre hier wieder zunächst [mm]\| T^n \| [/mm] betrachten und bezgl. der Summe ein wenig Dreiecksungleichung.
viele Grüße
mathemaduenn
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