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Forum "Differentialgleichungen" - Neumann RB für Stromflüsse
Neumann RB für Stromflüsse < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Neumann RB für Stromflüsse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Sa 26.02.2011
Autor: mathefuchs06

Aufgabe
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Modellierung von Stromflüssen durch Neumann Randbedingungen. Und zwar betrachte ich folgendes DGL-System auf dem Einheitsquadrat [mm] \Omega [/mm] = [mm] (0,1)\times(0,1): [/mm]

[mm] \begin{cases} \Delta u = 0, & \mbox{in } \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0, & \mbox{auf } \Gamma_{links} \mbox{ und } \Gamma_{rechts} \\ -\frac{\partial u}{\partial \nu} = a, & \mbox{auf } \Gamma_{unten} \\ u = b, & \mbox{auf } \Gamma_{oben} \end{cases} [/mm]

Stimmt es, dass für a > 0 der untere Rand der Einflussrand und der obere Rand der Ausflussrand ist? Spielt es dabei eine Rolle von wo nach wo der Strom fließt. Ich habe angenommen, er fließt von + nach -. Also von der höheren Spannung zu niedrigeren Spannung.


Mein Problem ist, dass bei der Lösung des Gleichungssystems mit der Finiten-Differenzen-Methode nicht das raus kommt was ich erwarte.

Wenn ich in x Richtung 3 Gitterpunkte und in y Richtung 4 Gitterpunkte wähle, komme ich mit zentralen Differenzenquotienten auf folgendes Gleichungssystem (die Dirichlet-Knoten sind schon weggelassen):

[mm] \pmat{ 4 & -2 & & -2 & & & & & \\ -1 & 4 & -1 & & -2 & & & & \\ & -2 & 4 & & & -2 & & & \\ -1 & & & 4 & -2 & & -1 & & \\ & -1 & & -1 & 4 & -1 & & -1 & \\ & & -1 & & -2 & 4 & & & -1 \\ & & & -1 & & & 4 & -2 & \\ & & & & -1 & & -1 & 4 & -1 \\ & & & & & -1 & & -2 & 4 } [/mm] u = [mm] \pmat{ -2ah \\ -2ah \\ -2ah \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ b \\ b \\ b } [/mm]

Wenn ich das Gleichungssystem löse bekomme ich allerdings eine steigende Spannung vom unteren Rand zum oberen Rand.

Kann das sein, oder habe ich im Gleichungssystem einen Fehler oder einen Denkfehler? Der Strom würde doch so von oben nach unten fließen, da oben die größte Spannung anliegt.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könnt. Viele Grüße
mathefuchs


        
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Sa 26.02.2011
Autor: mathefuchs06

Vielleicht kann ich noch mal die Differenzengleichungen herleiten, eventuell hat sich ja da ein Fehler eingeschlichen:

Am unteren Rand gilt:
a = [mm] -\frac{\partial u}{\partial \nu} [/mm] (x,0) = [mm] \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) \approx \frac{u(x,0+h) - u(x,0-h)}{2h} [/mm]

Daraus folgt:
u(x,0-h) = u(x,0+h) - 2ha

In die diskretisierte DGL
0 = [mm] \Delta [/mm] u(x,0) [mm] \approx \frac{4u(x,0) - u(x-h,0) - u(x+h,0) - u(x,0-h) - u(x,0+h)}{h^2} [/mm]
eingesetzt ergibt sich:
0 = [mm] \Delta [/mm] u(x,0) [mm] \approx \frac{4u(x,0) - u(x-h,0) - u(x+h,0) - 2u(x,0+h) + 2ha}{h^2} [/mm]
Umgeformt also die Gleichung aus dem Gleichungssystem:
4u(x,0) - u(x-h,0) - u(x+h,0) - 2u(x,0+h) = - 2ha

Viele Grüße mathefuchs

Bezug
                
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 So 27.02.2011
Autor: zahllos

Hallo,

ich habe die DGL diskretisiert und komme auf ein ähnliches Gleichungssystem wie du. Allerdings mußt du bei der Diskretisierung der Normalenableitung aufpassen: Du weißt nicht ob u(x,0-h) überhaupt existiert. D.h. du kannst die Normalenableitung nur von erster Ordnung approximieren (was natürlich die Genauigkeit der ganzen Lösung beeinträchtigt), oder du überlegst dir einen entsprechend komplizierteren Ansatz der die Normalenableitung von zweiter Ordnung approximiert und nur Werte der Löung im Inneren oder auf dem Rand des Gebiets verwendet.

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Neumann RB für Stromflüsse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Sa 26.02.2011
Autor: zahllos

Hallo mathefuchs06,

so ganz verstehe ich deine Frage nicht: Du sprichst von einem Differentialgleichungssystem aber du hast nur eine DGL angegeben. Was meinst du hier mit Stromflüssen und Spannungen?
Bei deinem linearen Gleichungssystem hängen manche Gleichungen nicht von der Schrittweite h ab, kann das bei einem Differenzenverfahren der Fall sein?

Wenn du mal das numerische Lösungsverfahren aus acht lässt, dann hat die DGL, so wie du sie angegeben hast, die Lösung:  u(x,y) = a+b - ay wobei a und b beliebige Konstante sind. Für a > 0 fällt die Lösungsfunktion wenn y von 0 bis 1 anwächst, für a < 0 steigt sie.

Da sagst deine errechnete Lösung steigt vom unteren zum oberen Rand an. Welche Werte hast du für a und b angenommen?

Bezug
                
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 So 27.02.2011
Autor: mathefuchs06

Hallo zahllos,

vielen Dank für deine Antwort. Es tut mir leid, dass ich mich missverständlich ausgedrückt habe, ich meinte die Differentialgleichung mit den Randbedingungen als System. Ich betrachte diese Differentialgleichung im Kontext der Elektrostatik, daher auch der Bezug zu den Spannungen und den Stromflüssen. Soweit ich weiß, modellieren die Neumann Randbedingungen die Stromflüsse und die Dirichlet Randbedingungen definieren Spannungen am Rand.

Das die Gleichungen nicht von der Schrittweite abhängen hat mich auch gewundert, aber für h [mm] \neq [/mm] 0 kann ich die Schrittweite ja aus den Gleichungen rausmultiplizieren, genauso wie das Vorzeichen, denn eigentlich suche ich die Lösung für [mm] -\Delta [/mm] u = 0, oder?

Deine angegebene Lösung ist genau das, was ich als Lösung erwartet hätte. Da ich physikalisch davon ausgehe, dass der Strom von hoher Spannung zu niedriger Spannung fließt. Und für a > 0 dann von unten nach oben fließt. Wenn ich mein Gleichungssystem löse (z.B. für a=3 und b=5), komme ich jedoch auf eine steigende Lösung. Vielleicht habe ich bei der Diskretisierung einen Vorzeichenfehler gemacht.

Könntest du dein hergeleitetes Gleichungssystem posten?

Danke, Viele Grüße
mathefuchs

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Neumann RB für Stromflüsse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:40 Mo 28.02.2011
Autor: zahllos

Hallo,

ich werde dir mal das LGS schicken, aber ich komme erst heute Abend dazu!

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Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Mi 02.03.2011
Autor: zahllos

Hallo,

hier ist das Gleichungssystem:
Ich habe die Schrittweite h=0,25 gewählt (in beiden Richtungen) und die Unbekannten von links oben an zeilenweise durchnummeriert. Dann bekomme ich:

[mm] \pmat{ -3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\\ 1 & -4 & 1 & 0 &1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &-3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 &-3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -3 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2} [/mm] u = [mm] \vektor{-b \\-b \\-b \\ 0\\0 \\0 \\-ha \\-ha \\-ha } [/mm]

Die Normalenableitung am unteren Rand (y = 0 ) ist nur von erster Ordnung approximiert.
(Ich hoffe ich habe nicht zu viele Tipp- oder Rechenfehler drin)

Bezug
                                
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:57 Mi 02.03.2011
Autor: mathefuchs06

Hallo zahllos, vielen Dank für dein Gleichungssystem. Ich glaube du hast alles richtig hergeleitet.

Allerdings verstehe ich meinen Fehler noch nicht. Es muss an den Gleichungen am unteren Rand liegen. Ist es korrekt, dass die Randableitung [mm] -\frac{\partial u}{\partial \nu} [/mm] gleich der Richtungsableitung [mm] \frac{\partial u}{\partial y} [/mm] ist?

Dann folgt bei mir nämlich:

a = [mm] -\frac{\partial u}{\partial \nu}(x,0) [/mm] = [mm] \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) \approx \frac{u(x,0)-u(x,-h)}{h} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] u(x,-h) = u(x,0) - ah

[mm] \Rightarrow \Delta [/mm] u(x,0) = -4u(x,0) + u(x+h,0) + u(x-h,0) + u(x,-h) + u(x,+h) = -4u(x,0) + u(x+h,0) + u(x-h,0) + u(x,0) - ah + u(x,+h)

[mm] \Rightarrow [/mm] -3u(x,0) + u(x+h,0) + u(x-h,0) + u(x,+h) = ah

Dies entspricht aber leider nicht deiner vorletzten Gleichung. Kannst du mir sagen, wie du darauf gekommen bist. Es liegt sicher an [mm] -\frac{\partial u}{\partial \nu} [/mm] = [mm] \frac{\partial u}{\partial y}, [/mm] aber ich verstehe nicht, warum das nicht gelten soll.

Vielen Dank,
mathefuchs

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Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Mo 07.03.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 Mo 07.03.2011
Autor: mathefuchs06

Gibt es niemanden, der mir helfen kann? Ich würde gerne verstehen, wie ich auf das Gleichungssystem von zahllos komme.

Ich bin für jegliche Tipps dankbar. Grüße, mathefuchs

Bezug
                                        
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:54 So 13.03.2011
Autor: zahllos

Hallo mathefuch06

ich war die letzte Woche im Urlaub, deshalb die verspätete Antwort.
Am unteren Rand gilt: a = [mm] -\frac{\partial u}{\partial \nu}(x,0) [/mm] = [mm] \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) \approx \frac{u(x,h)-u(x,0)}{h} [/mm]
Daraus folgt: u(x,0) [mm] \approx [/mm] u(x,h) -ha
und damit:
[mm] \Delta [/mm] u(x,h) [mm] \approx [/mm] -4 u(x,h) + u(x+h,h) + u(x-h,h) + u(x,0) + u(x,2h) [mm] \approx [/mm] -3 u(x,h) + u(x+h,h) + u(x-h,h) + u(x,2h) -ha
Daraus ergibt sich für die vorletzte Zeile 0 0 0 0 1 0 1 -3 1

Bezug
                                                
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:13 Di 15.03.2011
Autor: mathefuchs06

Aufgabe
Hallo zahllos,

diese Gleichung habe ich auch in meiner Frage hergeleitet. Was ich nicht verstanden habe, ist wie du auf folgende Gleichung kommst?
-3 u(x,h) + u(x+h,h) + u(x-h,h) + u(x,2h) = -ha

Du hast die Gleichung
-3 u(x,h) + u(x+h,h) + u(x-h,h) + u(x,2h) -ha = 0
hergleitet, in deinem Gleichungssystem hast du aber
-3 u(x,h) + u(x+h,h) + u(x-h,h) + u(x,2h) = -ha
verwendet. Wie geht das?

Viele Grüße
mathefuchs06

Bezug
                                                        
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Sa 19.03.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                        
Bezug
Neumann RB für Stromflüsse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Sa 19.03.2011
Autor: zahllos

Hallo,

die rechte Seite des LGS muss bei meinen letzten drei zeilen jeweils +ha lauten (ich hatte erst -ha angegeben).
Dann leigen unsere beiden Gleichungssysteme gar nicht so weit auseinander!

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