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Neumannsche Reihe: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:56 Mi 14.04.2010
Autor: SnafuBernd

Aufgabe
Sei u, v [mm] \in \IR^n [/mm]  , B [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] mit B = [mm] uv^t [/mm] .
Zeigen Sie, dass

[mm] \summe_{k=o}^{\infty} B^k [/mm] = [mm] I_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 - u^tv} uv^t [/mm]
gilt.
Anmerkung: Insbesondere folgt daraus
[mm] (I_n [/mm] - [mm] B)^{-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=o}^{\infty} B^k [/mm]

Hallo alle zusammen,

hab mich mit vollständiger Induktion an die Aufgabe gewagt, kam jedoch beim Induktionsschritt nicht wieder auf den rechten Term. Zweifle jetzt auch, dass es überhaupt die richtige Methode ist um die Aufgabe zu lösen.
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Gruß Snafu

        
Bezug
Neumannsche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Mi 14.04.2010
Autor: fred97

Da stimmt was nicht ! Ohne weitere Vor. an u und v ist die Aussage falsch, wie man schon im Fall n=1, u=v=1 sieht.

Hast Du was vergessen ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Neumannsche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Fr 16.04.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

brauche Kontrolle bei paar meine Rechenschritte:
[mm] I_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 - u^tv} uv^t [/mm]  , es gilt: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 -q} [/mm] und |u^tv| < 1 (Steht in der Aufgabenstellung.
[mm] =>I_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 - u^tv} uv^t [/mm] = [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (u^tv)^k uv^t [/mm]
ab jetzt bin ich mir nicht sicher:
[mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (u^tv)^k uv^t [/mm] =  [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (v^tu)^k uv^t [/mm]
wegen [mm] u^{t}v [/mm]  *  [mm] uv^t [/mm] = [mm] v^{t}u [/mm]  * [mm] uv^t [/mm] = [mm] (uv^t)^2 [/mm] , <=ist hier ein Fehler?
folgt:
[mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (v^tu)^k uv^t [/mm] =  [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (uv^t)^{k + 1} [/mm]
= [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (uv^t)^{k} [/mm] =  [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (uv^t)^{k } [/mm]


Gruß Snafu

Bezug
                        
Bezug
Neumannsche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Di 20.04.2010
Autor: ullim

Hi,

wenn [mm] B=uv^t [/mm] gilt, ist [mm] B^k=q^{k-1}*B [/mm] für [mm] k\ge1 [/mm] mit [mm] q=v^t*u [/mm]

Deshalb gilt

[mm] \summe_{i=0}^{\infty}B^k=I_n+B*\summe_{i=1}^{\infty}q^{k-1}=I_n+B*\summe_{i=0}^{\infty}q^k [/mm]

wenn |q|<1 gilt, folgt

[mm] \summe_{i=0}^{\infty}B^k=I_n+\bruch{1}{1-q}*B [/mm]

also das gewünschte Ergebnis.



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