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Newton-Verfahren: Rekursionsvorschrift Herleitun
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Di 06.10.2015
Autor: gr5959

Ich habe mich vergeblich bemüht, die Herleitung der Newton-Formel zu verstehen, wie sie in dem Artikel "Newton-Verfahren" der deutschen Wikipedia im Abschnitt "Konstruktion am Graphen" dargestellt wird. Kann mir jemand die Herleitung in kleinen Schritten verständlich erklären? G.R.


        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:57 Mi 07.10.2015
Autor: leduart

Hallo
du willst die Nullstelle einer Funktion  bestimmen also f(x)=0
Voraussetzung ist, du kannst die nullsteile einer funktion g(x)=mx+b bestimmen.
1. Schritt  du suchst eine Stelle aus, die nicht zu weit von der nullsteile weg liegt.
Beispiel du willst [mm] \sqrt(2) [/mm] bestimmen also die Nullstelle von [mm] f(x)=x^2-2 [/mm]
Als anfang wählst du [mm] x_1=1. [/mm] dann ersetzest du die Funktion durch ihre Tangente bei [mm] x_1 [/mm]
die Tangente hat die Steigung [mm] f'(x_1) [/mm] (hier [mm] 2*x_1=2 [/mm] und geht durch [mm] (x_1,f(x_1) [/mm] hat also die Gleichung [mm] t(x)=f'(x_1)*(x-x_1)+f(x_1) [/mm] ist das noch klar? sonst stell die Tangentengleichung selbst auf.
im Beispiel t(x)=2*(x-1)-1
dann bestimmst du den Schnittpunkt der Tangente mit der x Achse und nennst ihn [mm] x_2 [/mm]
[mm] x_2=x_1-\bruch{f(x_1)}{f'(x_1)}+x_1 [/mm]
im Beispiel  [mm] x_2=1-\bruch{-1}{2}=1,5 [/mm]
jetzt machst du mit [mm] x_2 [/mm] dasselbe wie mit [mm] x_1 [/mm]
due ersetzt die funktion durch ihre Tangente in [mm] x_2, [/mm] schneidest diese Tangente mit der x-Achse und findest [mm] x_3. [/mm]
die Formeln bleiben dieselben nur wird [mm] x_1 [/mm] durch [mm] x_2 [/mm] ersetzt. die konkrete Rechnung ist [mm] f(x_2)=1,5^2-2=0,25 f'(x_2)=2*1,5=3 [/mm]
also [mm] x_3=1,5-\bruch{0,25}{3}=1,5-0,063..=1,46 [/mm]
damit jetzt weiter um [mm] x_4 [/mm] zu berechnen.
in wiki wird die Tangente gezeichnet, und der Wert [mm] f(x_2) [/mm] über der Nullstele gezeigt, dort die neue Tangente, wieder Nullstelle wieder darüber die Tangente usw. bis [mm] x_5 [/mm]
Wenn du noch Fragen hast bezieh dich genau auf den post, aber besser du machst es mal sebst etwa indem du [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] bestimmst als Lösung von [mm] x^3-3=0 [/mm]
und dazu auch eine Zeichnung machst ( Bereich zwischen 1 und 2 die funktion stark vergrößert zeichnen.)
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Newton-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:28 Mi 07.10.2015
Autor: gr5959

Danke fuer die grosse Muehe, die du dir gemacht hast! Ich habe alles verstanden! G.R.

Bezug
        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:26 Mi 07.10.2015
Autor: HJKweseleit

[Dateianhang nicht öffentlich]

Du siehst den Graphen der Funktion y=f(x), der im Beispiel  bei ca. x=3,7 eine Nullstelle hat (roter Punkt, auf den der Pfeil zeigt). Die Fkt. ist aber so kompliziert (z.B. [mm] x^2+cos(x)), [/mm] dass man die Nullstelle nicht so einfach finden kann.

Du suchst in der Nähe der vermuteten Nullstelle einen Wert [mm] x_1 [/mm] (im Beispiel ca. 5,5). Da du den Fkt.-Term kennst, kannst du den y Wert [mm] y_1=f(x_1) [/mm] hierzu berechnen (im Bild ca. 3,6).

Idee: Wenn du nun im Punkt [mm] P_1 [/mm] die Tangente an den Graphen legst, trifft sie die x-Achse im Punkt [mm] x_2 [/mm] (im Bild ca. 4,3) viel näher an der Nullstelle, als [mm] x_1 [/mm] von ihr entfernt ist.

Mit [mm] x_2 [/mm] hast du also einen besseren Wert, und mit dem wiederholst du den ganzen Vorgang, wobei du auf einen noch günstigeren Wert [mm] x_3 [/mm] stößt usw.

Wenn alles klappt und die Funktion "einiger Maßen brav" ist, kommst du beliebig nah an die Nullstelle heran.

Wie erhältst du nun [mm] x_2 [/mm] aus [mm] x_1? [/mm]

Du errechnest die Steigung m der Tangente mit Hilfe der Ableitung als [mm] m=f'(x_1). [/mm] Nun gilt (s. Bild):

[mm] m=\bruch{Hoehe des Tangentendreiecks}{Breite des Tangentendreiecks}=\bruch{y_1}{x_1-x_2} [/mm] , somit

[mm] x_1-x_2=\bruch{y_1}{m} [/mm]

[mm] x_2=x_1-\bruch{y_1}{m}=x_1-\bruch{f(x_1)}{f'(x_1)} [/mm]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Newton-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Mi 07.10.2015
Autor: gr5959

Wunderbar und glasklar, Schritt fuer Schritt alles begriffen! Danke! G.R.

Bezug
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