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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren einen bis auf 2 Stellen hinter dem Komma genauen Näherungswert einer Lösung der angegebenen Gleichung.
a) [mm] x^{3}-x-0,5= [/mm] 0 b) [mm] x^{3}-3x-4=0 [/mm] |
Hallöchen! Also wir haben jetzt ein Thema dazwischen geschoben, das sich Newton-Verfahren nennt. Wir sollen da einen ganzen Großteil selbst erarbeiten, nachdem uns gesagt wurde, wo wir im Buch eventuelle Antworten finden... wollte jetzt mal eine Aufgabe rechnen, aber ... na ja, das Aber ist eigentlich, dass ich keine Ahnung hab, was ich mit den Formeln [mm] x_{n+1}= x_{n}- \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})} [/mm] und y= [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0})*(x-x_{0}) [/mm] machen soll. Ich weiß, dass man mit dem Newton-Verfahren wohl die Nullstelle der Tangente berechnet, um irgendwie eine Näherung zur Nullstelle der Funktion herzubekommen, aber ich weiß einfach nicht, wie ich es z.B. in der Aufgabe oben anwenden soll.
Soll man für n einfach irgendwas bestimmen oder mit n rechnen?
Und wie fange ich überhaupt so eine Aufgabe an? Also wie "übersetze" ich die gegebenen Infos der Aufgabe in Mathematik?
Wäre um Hilfe wirklich sehr dankbar.
Liebe Grüße von hier, Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Pure!
> b) [mm]x^{3}-3x-4=0[/mm]
> jetzt mal eine Aufgabe rechnen, aber ... na ja, das Aber
> ist eigentlich, dass ich keine Ahnung hab, was ich mit den
> Formeln [mm]x_{n+1}= x_{n}- \bruch{f(x_{n})}{f´(x_{n})}[/mm] und y=
> [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]f´(x_{0})*(x-x_{0})[/mm] machen soll. Ich weiß, dass
> man mit dem Newton-Verfahren wohl die Nullstelle der
> Tangente berechnet, um irgendwie eine Näherung zur
> Nullstelle der Funktion herzubekommen, aber ich weiß
> einfach nicht, wie ich es z.B. in der Aufgabe oben anwenden
> soll.
>
> Soll man für n einfach irgendwas bestimmen oder mit n
> rechnen?
Also das Vorgehen ist generell recht einfach, du suchst dir einfach einen beliebigen Startwert [mm] $x_n$ [/mm] aus und setzt ihn in die Gleichung ein. Es darf nur keine Extremstelle sein, da sonst der Nenner $0$ wäre. Durch das Einsetzen erhältst du dein [mm] $x_{n+1}$ [/mm] und das setzt du dann wieder ein, bis die Schwankungen immer kleiner werden und schon bist du fertig. Ich mache es mal an Aufgabe b) vor: [mm] $x^3-3x-4=0 \to x_1=x_0-\frac{x^3-3x-4}{3x^2-3}$ $x_0=2 \to x_1=\frac{20}{9} \to x_2=2,196 \to x_3=2,196 \to x_4=2,196$
[/mm]
Eine schöne Veranschaulichung findest du auch ![[]](/images/popup.gif) hier .
Gruß
Nicolas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 10.04.2006 | | Autor: | magi |
Anstatt Newton-verfahren kann ich auch immer Horner Schema verwenden??
Mfg.
magi.
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Hallo magi,
Mit dem Hornor Schema kann man Funktionswerte eines Polynoms berechnen aber keine unbekannte Nullstelle.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Pure |
Hi Nicolas,
erst mal ein ganz liebes Dankeschön für deine Antwort. Ich denke, ich habe es jetzt verstanden und werde gleich mal weitere Aufgaben versuchen... wenn ichs nicht blicke, muss ich mich halt nochmal melden 
Liebe Grüße, Pure
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich habe mich daran nun auch einmal versucht, indem ich für [mm] x_0 [/mm] null eingesetzt habe, als Ergebnis erhalte ich
[mm] x_1= [/mm] -4/3
Setze ich [mm] x_1 [/mm] mit minus 4/3 ein, so erhalte ich -0,32
setze ich -0,32 ein, so erhalte ich -1,459
Also ich komme nicht einmal nach 10 Werten auf die Nullstelle. Warum nicht? Darf man den Wert x=0 in diesem Fall nicht nehmen?
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Irgendwie muss ich doch etwas falsch gemacht haben? Oder woher weiß ich sonst wie viele Nullstellen es gibt? In diesem Fall gibts ja nur eine und mit [mm] x_0 [/mm] = 0 komme ich nicht nach [mm] x_6 [/mm] = ... auf die Nullstelle
Grüße Phoney
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Hallo Phoney,
Das Newtonverfahren entspricht ja dem Anlegen einer Tangente an die Funktion. Die Nullstelle der Tangente ist dann der nächste Wert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im vorliegenden Fall "springt" das Ganze um eine nicht vorhandene Nullstelle herum.
Man sollte sich also schon überlegen ob in der Nähe meines Startwertes eine Nullstelle liegt. 3 oder 2 bieten sich also an. Dann klappt das Ganze auch.
viele Grüße
mathemaduenn
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Ok, danke für die Erklärung.
Aber die Zeichnung, so schön sie auch sein mag, finde ich nicht selbsterklärend.
Gruß Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Di 11.04.2006 | | Autor: | Fugre |
Hi Phoney,
würde dir empfehlen mal den Link aus meinem ersten Artikel zu verwenden, einfach Funktion und Startwert eingeben und dann die Animation starten und schon siehst du ganz genau und ohne Aufwand was passiert.
Gruß
Nicolas
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