matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenNumerik linearer GleichungssystemeNewton-Verfahren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Newton-Verfahren
Newton-Verfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Sa 12.05.2012
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion F: [mm] \R^{3} \to \IR [/mm] durch
F(x) = [mm] e^{x_{1}} cos(x_{2}) [/mm] + [mm] 2x_{1} sin(x_{2}) [/mm] + [mm] (1+x_{1})(1-x_{3})^{2} [/mm]
Zur Bestimmung von Extremalpunkten soll das nichtlineare Gleichungssystem [mm] \Delta [/mm] F(x) = 0 mit Hilfe des Newton-Verfahrens gelöst werden. Stellen Sie die Iterationsvorschrift auf.
(Die dabei auftretenden Matrixinversion soll nicht explizit berechnet werden.)

Hallo!
Hier ist [mm] \Delta [/mm] F(x) = [mm] (D_{x_{1}} [/mm] F, [mm] D_{x_{2}} [/mm] F, [mm] D_{x_{3}} [/mm] F [mm] )^{t}. [/mm]
(D ist dabei die partielle Ableitung)
Und somit habe ich berechnet:
[mm] \Delta [/mm] F(x) = [mm] \vektor{ e^{x_{1}} cos(x_{2}) + 2sin(x_{2}) + (1-x_{3})^{2} \\ -e^{x_{1}} sin(x_{2}) + 2x_{1} cos(x_{2}) \\ (1+x_{1})(-1+x_{3})*2} [/mm]

und
[mm] \Delta [/mm] F'(x) = [mm] \pmat{ e^{x_{1}} cos(x_{2}) & -e^{x_{1}} sin(x_{2}) + 2cos(x_{2}) & -2+2x_{3}\\ -e^{x_{1}} sin(x_{2}) + 2cos(x_{2}) & -e^{x_{1}} cos(x_{2}) - 2x_{1} sin(x_{2}) & 0 \\ -2+2x_{3} & 0 & 2+2x_{1} } [/mm]

Die Newton-Vorschrift sieht ja normaler Weise so aus:
[mm] x_{t+1} [/mm] = [mm] x_{t} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{t})}{f'(x_{t})} [/mm]

Sieht dann "meine" Iteratiosvorschrift so aus:
[mm] x^{(t+1)} [/mm] = [mm] x^{(t)} [/mm] - [mm] \bruch{\Delta F(x^{(t)})}{\Delta F'(x^{(t)})} [/mm] ?

Stimmt das so?
Könnte da mal jemand drüber gucken?
Grüßle, Lily

        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Sa 12.05.2012
Autor: Diophant

Hallo Mathe-Lily,

> Stimmt das so?

ich denke: nein. Man benötigt für das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen eine Jacobi-Matrix (soweit mir bekannt ist).

Es ist dann

[mm]\Delta{x_n}=-(J(x_n))^{-1}*f(x_n)[/mm]

und die Iterationsvorschrift lautet dann

[mm] x_{n+1}=x_n+\Delta{x_n} [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 So 13.05.2012
Autor: Mathe-Lily


> > Stimmt das so?
>  
> ich denke: nein. Man benötigt für das Newton-Verfahren im
> Mehrdimensionalen eine Jacobi-Matrix (soweit mir bekannt
> ist).

Aber das ist doch die Jacobimatrix, mein [mm] \Delta [/mm] F(x), oder nicht? so ist sie zumindest definiert!?

>  
> Es ist dann
>  
> [mm]\Delta{x_n}=-(J(x_n))^{-1}*f(x_n)[/mm]
>  
> und die Iterationsvorschrift lautet dann
>  
> [mm]x_{n+1}=x_n+\Delta{x_n}[/mm]

ist das nicht genau das, was ich geschrieben habe, nur eben in 2 Gleichungen?
Denn meins ist ja [mm] x^{(t+1)} [/mm] = [mm] x^{(t)} [/mm] - [mm] \bruch{\Delta F(x^{(t)}}{\Delta F'(x^{(t)}}, [/mm] wobei der hintere Teil dein [mm] \Delta{x_n} [/mm] ist.
Oder?

>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 So 13.05.2012
Autor: Diophant

Halllo,

tut mir Leid: ich komme nicht mit bei deinem Vorhaben. Für mich steht da eine Division Vektor / Matrix; und so etwas habe ich noch nie gesehen. ;-)

Kann es sein, dass du eine Schreibweise der Form [mm] A^{-1} [/mm] im Zusammenhang mit Matrizen falsch verstehst? Damit ist doch hier die Inverse der Jacobi-Matrix gemeint.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Newton-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Mi 16.05.2012
Autor: Mathe-Lily

autsch -.- ich sollte meine gedanken vllt auch mal zu ende denken...
Danke :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]