Newton-Verfahren im R^2 < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mi 22.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | [mm] f(x_1,x_2)=\pmat{x_1+x_2 \\ x_1x_2+2}
[/mm]
Es soll eine Nullstelle der gegebenen vektorwertigen Funktion bestimmt werden.
Berechnen Sie hierzu die Iterationsvorschrift nach dem Newton-Verfahren. Wie lauten die ersten 3 Iterationen, wenn Sie mit dem Startwert [mm] x_1^0=1,x_2^0=0 [/mm] starten? |
Ich habe eine Iterationsvorschrift ermittelt. Und nun würde ich die gerne hier kontrollieren lassen.
Allgemein gilt ja für das Newton-Verfahren im [mm] \IR^n:
[/mm]
[mm] x_{k+1}=x^k-(f'(x_k))^{-1}*f(x_k), k\ge 0,x^0\in [/mm] D gegeben, wobei [mm] f:D\to \IR^n [/mm] eine [mm] \mathcal{C}^1-Funktion [/mm] ist.
Das bedeutet für die Aufgabe
[mm] f(x_1,x_2)=\pmat{f_1(x_1,x_2) \\ f_2(x_1,x_2)}=\pmat{x_1+x_2 \\ x_1x_2+2}
[/mm]
[mm] f'(x_1,x_2)=\underbrace{\pmat{1 & 1 \\ x_2 & x_1}}_{=:A},
[/mm]
[mm] (f'(x_1,x_2))^{-1}=\underbrace{\pmat{\bruch{x_2}{x_1-x_2}+1 & \bruch{-1}{x_1-x_2} \\ \bruch{-x_2}{x_1-x_2} & \bruch{1}{x_1-x_2}}}_{=:B}
[/mm]
Die Iterationsvorschrift nach dem Newton-Verfahren lautet dann:
[mm] x^{k+1}=x^k-BA, [/mm] wobei man anstatt der [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] dementsprechend [mm] x_1^k [/mm] und [mm] x_2^k [/mm] schreiben würde.
Ist das so korrekt?
Die Iterationen auszurechnen, sollte dann kein Problem mehr sein.
Dennis
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Hallo dennis2,
> [mm]f(x_1,x_2)=\pmat{x_1+x_2 \\ x_1x_2+2}[/mm]
>
> Es soll eine Nullstelle der gegebenen vektorwertigen
> Funktion bestimmt werden.
>
> Berechnen Sie hierzu die Iterationsvorschrift nach dem
> Newton-Verfahren. Wie lauten die ersten 3 Iterationen, wenn
> Sie mit dem Startwert [mm]x_1^0=1,x_2^0=0[/mm] starten?
> Ich habe eine Iterationsvorschrift ermittelt. Und nun
> würde ich die gerne hier kontrollieren lassen.
>
> Allgemein gilt ja für das Newton-Verfahren im [mm]\IR^n:[/mm]
> [mm]x_{k+1}=x^k-(f'(x_k))^{-1}*f(x_k), k\ge 0,x^0\in[/mm] D
> gegeben, wobei [mm]f:D\to \IR^n[/mm] eine [mm]\mathcal{C}^1-Funktion[/mm]
> ist.
>
> Das bedeutet für die Aufgabe
>
> [mm]f(x_1,x_2)=\pmat{f_1(x_1,x_2) \\ f_2(x_1,x_2)}=\pmat{x_1+x_2 \\ x_1x_2+2}[/mm]
>
> [mm]f'(x_1,x_2)=\underbrace{\pmat{1 & 1 \\ x_2 & x_1}}_{=:A},[/mm]
>
> [mm](f'(x_1,x_2))^{-1}=\underbrace{\pmat{\bruch{x_2}{x_1-x_2}+1 & \bruch{-1}{x_1-x_2} \\ \bruch{-x_2}{x_1-x_2} & \bruch{1}{x_1-x_2}}}_{=:B}[/mm]
>
>
> Die Iterationsvorschrift nach dem Newton-Verfahren lautet
> dann:
>
> [mm]x^{k+1}=x^k-BA,[/mm] wobei man anstatt der [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> dementsprechend [mm]x_1^k[/mm] und [mm]x_2^k[/mm] schreiben würde.
>
>
>
> Ist das so korrekt?
Für A muss doch [mm]f\left(x_{1}^{k}, \ x_{2}^{k}\right)[/mm] gesetzt werden.
> Die Iterationen auszurechnen, sollte dann kein Problem
> mehr sein.
>
>
> Dennis
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 22.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
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> Für A muss doch [mm]f\left(x_{1}^{k}, \ x_{2}^{k}\right)[/mm]
> gesetzt werden.
>
Wie darf ich das verstehen?
Eine kleine formale Ungenauigkeit?
Aber müsste es nicht wenn schon [mm] f'(x_1^k,x_2^k) [/mm] heißen?
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Hallo dennis2,
>
> >
> > Für A muss doch [mm]f\left(x_{1}^{k}, \ x_{2}^{k}\right)[/mm]
> > gesetzt werden.
> >
>
> Wie darf ich das verstehen?
> Eine kleine formale Ungenauigkeit?
>
> Aber müsste es nicht wenn schon [mm]f'(x_1^k,x_2^k)[/mm] heißen?
Nein, [mm]f\left(x_{1}^{k}, \ x_{2}^{k}\right)[/mm] ist schon richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 22.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Dann verstehe ich den Sinn davon nicht.
A soll doch hier die Jacobi-Matrix sein, also die Matrix mit den partiellen Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2.
[/mm]
Deswegen schrieb ich [mm] f'(x_1^k,x_2^k). [/mm] |
Ich verstehe also zwei Dinge nicht, warum die k über [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hier nötig sein sollen und warum f und nicht f'.
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Hallo dennis2,
> Dann verstehe ich den Sinn davon nicht.
Multipliziere mal B mit A.
> A soll doch hier die Jacobi-Matrix sein, also die Matrix
> mit den partiellen Ableitung nach [mm]x_1[/mm] bzw. [mm]x_2.[/mm]
>
> Deswegen schrieb ich [mm]f'(x_1^k,x_2^k).[/mm]
> Ich verstehe also zwei Dinge nicht, warum die k über [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_2[/mm] hier nötig sein sollen und warum f und nicht f'.
>
Um die Nullstellenbestimmung auf ein lineares Gleichungssystem
zurückkzuführen, wird die Funktion f an der Stelle [mm]\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)[/mm] linearisiert.
Dann ist
[mm]f\left(x_{1}^{k+1},x_{2}^{k+1}\right) = f\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)+f_{x_{1}}\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)*\left(x_{1}^{k+1}-x_{1}^{k}\right)+f_{x_{2}}\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)*\left(x_{2}^{k+1}-x_{2}^{k}\right)[/mm]
Da [mm]\left(x_{1}^{k+1},x_{2}^{k+1}\right)[/mm] eine bessere Näherung für eine
Nullstelle von f ist, wird diese Null gesetzt:
[mm]0 = f\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)+f_{x_{1}}\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)*\left(x_{1}^{k+1}-x_{1}^{k}\right)+f_{x_{2}}\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)*\left(x_{2}^{k+1}-x_{2}^{k}\right)[/mm]
Löst man das auf, so steht da:
[mm]\pmat{x_{1}^{k+1} \\ x_{2}^{k+1}}=\pmat{x_{1}^{k} \\ x_{2}^{k}}-\left( \ f_{x_{1}}\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right) & \ f_{x_{2}}\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right) \ \right)^{-1}*f\left(x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 22.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Mir ist es ehrlich gesagt noch immer nicht ganz klar, was das bedeutet.
Ich habe mich bei der Aufgabe an folgenden Abschnitt im Skript gehalten: |
Gegeben sei eine [mm] C^1-Funktion f:D\to \IR^n. [/mm] Gesucht ist eine Nullstelle [mm] x^{\*}\in [/mm] D von f. Das Newton-Verfahren zur Berechnung von [mm] x^{\*} [/mm] ist die folgende Fixpunktiteration:
[mm] x^{k+1}:=x^k-(f'(x^k))^{-1}f(x^k), k\ge 0,x^0\in [/mm] D gegeben.
Und dann folgt ein Beispiel:
Gesucht ist die Lösung des Systems
[mm] f(x)=\pmat{f_1(x) \\ f_2(x)}=\pmat{x_1^2+x_2^2-1 \\ x_1}=0.
[/mm]
Die Ableitung f'(x) ist gegeben durch
[mm] f'(x)=\pmat{2x_1 & 2x_2 \\ 1 & 0}, [/mm] wodurch sich die Inverse zu
[mm] (f'(x))^{-1}=\pmat{0 & 1 \\ \bruch{1}{2x_2} & \bruch{-x_1}{x_2}} [/mm] ergibt.
Die Iterationsvorschrift lautet also:
[mm] x^{k+1}=x^k-\pmat{0 & 1 \\ \bruch{1}{2x_2^k} & \bruch{-x_1^k}{x_2^k}}\pmat{(x_1^k)^2+(x_2^k)^2-1 \\ x_1^k}.
[/mm]
Analog hierzu habe ich meine Aufgabe gelöst.
Und daher verstehe ich nicht, wo da ein Fehler liegen soll.
Die Aufgabenstellung ist doch völlig analog zu dem Beispiel.
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Hallo dennis2,
> Mir ist es ehrlich gesagt noch immer nicht ganz klar, was
> das bedeutet.
>
> Ich habe mich bei der Aufgabe an folgenden Abschnitt im
> Skript gehalten:
>
> Gegeben sei eine [mm]C^1-Funktion f:D\to \IR^n.[/mm] Gesucht ist
> eine Nullstelle [mm]x^{\*}\in[/mm] D von f. Das Newton-Verfahren zur
> Berechnung von [mm]x^{\*}[/mm] ist die folgende Fixpunktiteration:
>
> [mm]x^{k+1}:=x^k-(f'(x^k))^{-1}f(x^k), k\ge 0,x^0\in[/mm] D
> gegeben.
>
> Und dann folgt ein Beispiel:
>
> Gesucht ist die Lösung des Systems
>
> [mm]f(x)=\pmat{f_1(x) \\ f_2(x)}=\pmat{x_1^2+x_2^2-1 \\ x_1}=0.[/mm]
>
> Die Ableitung f'(x) ist gegeben durch
>
> [mm]f'(x)=\pmat{2x_1 & 2x_2 \\ 1 & 0},[/mm] wodurch sich die Inverse
> zu
>
> [mm](f'(x))^{-1}=\pmat{0 & 1 \\ \bruch{1}{2x_2} & \bruch{-x_1}{x_2}}[/mm]
> ergibt.
>
> Die Iterationsvorschrift lautet also:
>
> [mm]x^{k+1}=x^k-\pmat{0 & 1 \\ \bruch{1}{2x_2^k} & \bruch{-x_1^k}{x_2^k}}\pmat{(x_1^k)^2+(x_2^k)^2-1 \\ x_1^k}.[/mm]
>
>
> Analog hierzu habe ich meine Aufgabe gelöst.
> Und daher verstehe ich nicht, wo da ein Fehler liegen
> soll.
Nun, im Skript steht hier ja auch:
[mm]x^{k+1}:=x^k-(f'(x^k))^{-1}\blue{f(x^k)}[/mm]
>
> Die Aufgabenstellung ist doch völlig analog zu dem
> Beispiel.
Ja, nur hast Du das falsch umgesetzt und statt [mm]f(x^k)[/mm]
[mm]f\blue{'}(x^k)[/mm] geschrieben.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mi 22.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
JETZT habe ich verstanden, was ich falsch gemacht habe.
1000 Dank.
{Gibt es einen User, der noch langsamer und bekloppter denkt als ich?}
Schöne Weihnachten!
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