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| Aufgabe | Newton Verfahren.
Zeige dass man die Nullstelle durch eine beliebige Zahl c [mm] \in [/mm] [a,b] ersetzten kann formuliere das entsprechende Ergebnis selber. |
Newtons Methode: (Skript)
Sei f $ [mm] \in [/mm] $ C([-a,a]) $ [mm] \cup [/mm] $ D((-a,a)) mit stetiger Ableitung und f'(0) $ [mm] \not=0, [/mm] $ und f(0)=0. Dann gibt es ein $ [mm] \epsilon>0, [/mm] $ sodass für jedes $ [mm] x_0 \in [-\epsilon, \epsilon], [/mm] $ die durch
$ [mm] x_{j+1} [/mm] $ = $ [mm] x_j [/mm] $ - $ [mm] \frac{f(x_j)}{f'(x_j)} [/mm] $
defenierte folge $ [mm] x_j [/mm] $ gegen die nullstelle von f konvergiert.
Kann ich statdessen nicht die Funktion f(x)-c nehmen.
Dann hab ich die iterierte Folge: $ [mm] x_{j+1} [/mm] $ = $ [mm] x_j [/mm] $ - $ [mm] \frac{f(x_j)-c}{f'(x_j)} [/mm] $
die Funktion muss konvergieren nach t sodass f(t)=c
Aber wie kann ich das zeigen??
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Hallo theresetom,
> Newton Verfahren.
> Zeige dass man die Nullstelle durch eine beliebige Zahl c
> [mm]\in[/mm] [a,b] ersetzten kann formuliere das entsprechende
> Ergebnis selber.
> Newtons Methode: (Skript)
> Sei f [mm]\in[/mm] C([-a,a]) [mm]\cup[/mm] D((-a,a)) mit stetiger Ableitung
> und f'(0) [mm]\not=0,[/mm] und f(0)=0. Dann gibt es ein [mm]\epsilon>0,[/mm]
> sodass für jedes [mm]x_0 \in [-\epsilon, \epsilon],[/mm] die durch
> [mm]x_{j+1}[/mm] = [mm]x_j[/mm] - [mm]\frac{f(x_j)}{f'(x_j)}[/mm]
> defenierte folge [mm]x_j[/mm] gegen die nullstelle von f
> konvergiert.
NB: definierte...
> Kann ich statdessen nicht die Funktion f(x)-c nehmen.
Ja, genau!
> Dann hab ich die iterierte Folge: [mm]x_{j+1}[/mm] = [mm]x_j[/mm] -
> [mm]\frac{f(x_j)-c}{f'(x_j)}[/mm]
> die Funktion muss konvergieren nach t sodass f(t)=c
> Aber wie kann ich das zeigen??
Na, du definierst Dir eine Funktion $g(x):=f(x)-c$ und suchst mit dem Newtonverfahren die Nullstellen von $g(x)$. Was weißt Du über $g'(x)$?
Grüße
reverend
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hi
Ja g'(x) = f'(x)
$ [mm] x_{j+1} [/mm] $ = $ [mm] x_j [/mm] $ -$ [mm] \frac{g(x_j)}{g'(x_j)} [/mm] $ = $ [mm] x_j [/mm] $ - $ [mm] \frac{f(x_j)-c}{f'(x_j)} [/mm] $
[mm] lim_{j->\infty} [/mm] $ [mm] x_j [/mm] $ - $ [mm] \frac{f(x_j)-c}{f'(x_j)} [/mm] $=t
wobei g(t)=0 -> $ 0=g(t):=f(t)-c $-> f(t)=c
so ok?
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Hallo nochmal,
> hi
>
> Ja g'(x) = f'(x)
>
> [mm]x_{j+1}[/mm] = [mm]x_j[/mm] -[mm] \frac{g(x_j)}{g'(x_j)}[/mm] = [mm]x_j[/mm] -
> [mm]\frac{f(x_j)-c}{f'(x_j)}[/mm]
>
> [mm]lim_{j->\infty}[/mm] [mm]x_j[/mm] - [mm]\frac{f(x_j)-c}{f'(x_j)} [/mm]=t
> wobei
> g(t)=0 -> [mm]0=g(t):=f(t)-c [/mm]-> f(t)=c
>
> so ok?
Ja. 
Grüße
reverend
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Die Aufgabe ist etwas anders gemeint, als du (und die anderen) sie auffassen:
Bei dem ursprünglichen Beweis, von dem die Rede ist, sollte die Nullstelle von f bei x=0 liegen. Nun sollst du den Beweis so abwandeln, dass nicht f(0)=0 sein soll, sondern f(c)=0, und du sollst nun c als Lösung finden.
Dazu bildest du nun aber nicht f(x)-c, weil c ein x-Wert sein soll, also keine Korrektur des y-Wertes!
Das Ganze geht so:
Angenommen, c ist eine Nullstelle mit den angegebenen Eigenschaften (aus Intervall [a|b] usw.), also f(c)=0, f diffbar usw.usw., wobei dann [mm] a\le [/mm] c [mm] \le [/mm] b ist.
Bilde nun die Funktion g(x)=f(x+c) mit x [mm] \in [/mm] [a-c|b-c].
Dann ist g(0)=f(c+0)=f(c)=0, hat also wunschgemäß bei 0 eine Nullstelle; g'(x)=f'(x+c) (innere Ableitung =1) und damit g'(0)=f'(c) [mm] \ne [/mm] 0, da das bei f so sein soll.
Außerdem ist für x=a-c g(x)=f(a) und für x=b-c ist g(x)=f(b), die Werte decken also für f den ganzen Bereich zwischen a und b ab. Da [mm] a-c\le [/mm] 0 und b-c [mm] \ge [/mm] 0 ist, erhalten wir für g auch ein Intervall um 0. Insgesamt handelt es sich bei dem Ganzen nur um eine Verschiebung des Graphen um -c nach links( bei negativem c also nach rechts).
Wenden wir jetzt das Newton-Verfahren auf g an, konvergiert es gegen x=0.
Problem: Da wir c nicht kennen, können wir g gar nicht bilden! Was nun?
Wir benutzen einfach f weiter und stellen uns vor, dass wir statt x+c die Variable t wählen mit t=x+c, c fest, aber unbekannt.
Dann ist f(t)=g(x) und f'(t)=g'(x) innere Ableitung = 1). Damit wird nun aus dem Newton-Verfahren für g:
[mm] x_{neu}=x-g(x)/g'(x) [/mm] mit Konvergenz von x gegen 0
[mm] x_{neu}+c=x+c-g(x)/g'(x) [/mm] =x+c-f(t)/f'(t) oder
[mm] t_{neu}=t-f(t)/f'(t) [/mm] mit Konvergenz von x gegen 0, also t gegen c.
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