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Hey,
Vorweg: In der letzten Mathe-Arbeit haben wir die Kurvendiskussion behandelt. Sprich: Extremas, Schnittpunkte, WP, Wendetangente usw. Da ich aber aufgrund eines Rechenfehlers keine einzige (!) Nullstelle gefunden habe, ist das ganze auf eine 5 hinausgelaufen. Ich bin nun von 3 auf 5 in Mathe. Mein Lehrer hat mir angeboten, durch eine Facharbeit über das newtonsche Näherungsverfahren meine Note aufzubessern.. Darum dieses Thema.. 
In diese Facharbeit müssen folgende Dinge rein:
- Biografie von Isaac Newton
- Isaac's Idee und sein Beweggrund hinter dem Näherungsverfahren
- 1 Beispiel, an dem das verfahren ausführlich erklärt wird.
Die Biografie habe ich bereits zusammengeschrieben, bei seinen Beweggründen sowie seiner Idee hinter dem ganzen könnte ich einige Tipps gebrauchen.. Wenn jemand also etwas darüber weiss, nur her damit. :)
Am wichtigsten ist aber das Beispiel, an dem das newtonsche Verfahren erklärt wird. Wäre sehr nett, wenn mir da jmd. einmal eine anschauliche Aufgabe durchrechnen könnte.
Falls interessant.. Hier der Link zu wikipedia (Stichwort: Newton):
http://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
Ich bedanke mich schonmal im Vorraus für die hier angebotene Hilfe..
Grüße
Norderneyer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Sa 25.06.2005 | | Autor: | bobby |
Also beim Beispiel kann ich dir helfen, über seine Idee dazu hab ich leider auch nix mehr gefunden, zu lange her...
Beispiel:
Nehme die Funktionen [mm] f(x)=e^{x} [/mm] und g(x)=4-x. Versuche davon die Schnittstelle zu bestimmen, was leider nur Näherungsweise geht, haltüber das Newton Verfahren.
Zeichne dir die Graphen und versuche die Schnittstelle abzulesen, du wirst sehen, dass sie ungefähr bei [mm] x_{s}=1 [/mm] liegt. Um genaueres festzustellen gebrauche das Newton Verfahren. Mit Hilfe dieses Verfahrens bestimmst du die Schnittstelle der Funktion [mm] h(x)=4-x-e^{x} [/mm] (allgemein also:h(x)=g(x)-f(x)) näherungsweise. Als Startwert nimmst du die am Graphen abgelesene Stelle [mm] x_{s}=1 [/mm] und führst nun mehrere Näherungsrechnungen mit der Newton Formel durch.
Funktionsgleichungen: [mm] h(x)=4-x-e^{x}
[/mm]
[mm] h'(x)=-1-e^{x}
[/mm]
Startwert: [mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] x_{1}=x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{h(x_{0})}{h'(x_{0})} [/mm] = 1,0757657
Den Wert verwendest du weiter für [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] x_{2}=x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{h(x_{1})}{h'(x_{1})} [/mm] = 1,0737305
Dann nimmst du den Wert für [mm] x_{3}:
[/mm]
[mm] x_{3}=x_{2} [/mm] - [mm] \bruch{h(x_{2})}{h'(x_{2})} [/mm] = 1,0737289
Hier erhältst du also schon im 3.Schritt einen recht genauen Wert (bis auf 6 Nachkommastellen).
Damit liegt also die gesuchte Schnittstelle von g und f bei [mm] x_{s}\approx1,073729.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
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Zuerst einmal danke für deine schnelle Antwort. :)
Wenn du auf folgende Seite gehst:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Näherungsverfahren
Da steht etwas von Tangente bestimmen.. Bei deinem Beispiel hast du nun den Schnittpunkt von 2 Graphen berechnet.. Was nehme ich am besten für mein Beispiel (Sollte halt einfach sein) und bei welchem kann ich sichergehn, dass ich das Thema nicht verfehle?
Zudem noch ne kurze Frage.. :
$ [mm] f(x)=e^{x} [/mm] $ Was sucht das e da? Bin gerade leicht verwirrt.. Kann man's wie n X ansehen?
Grüße
Norderneyer
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Hallo Norderneyer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zuerst einmal danke für deine schnelle Antwort. :)
>
> Wenn du auf folgende Seite gehst:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Näherungsverfahren
>
> Da steht etwas von Tangente bestimmen.. Bei deinem Beispiel
> hast du nun den Schnittpunkt von 2 Graphen berechnet.. Was
> nehme ich am besten für mein Beispiel (Sollte halt einfach
> sein) und bei welchem kann ich sichergehn, dass ich das
> Thema nicht verfehle?
>
wenn du von den beiden Funktionen f und g ausgehst, bestimmst du den Schnittpunkt der beiden,
da du aber in Wirklichkeit die Funktion h = g - f betrachtest, bestimmst du tatsächlich die Nullstelle(n) der Funktion h.
Schau dir doch das Bild in Wikipedia an, da siehst du doch, wie der Schnittpunkt der Tangente sich allmählich der Nullstelle nähert.
Aber eigentlich setzt man nur die Formel wiederholt an, um sich der Nullstelle zu nähern.
Den Rest solltest du jetzt schon allein weiter bearbeiten - denn schließlich willst du ja deine Note verbessern und sollst eine eigene Leistung vorweisen.
Ich denke, in der Wikipedia ist das doch wirklich schön erklärt.
Also: keine ganzen Lösungen mehr hier erwarten, sondern allenfalls Einzelfragen, die du konkret stellst und zu denen wir dir dann Tipps geben können.
> Zudem noch ne kurze Frage.. :
> [mm]f(x)=e^{x}[/mm] Was sucht das e da? Bin gerade leicht
> verwirrt.. Kann man's wie n X ansehen?
>
nein, e ist eine feste Zahl: die  Eulersche Zahl; sie ist die Basis der e-Funktion und der "natürlichen Logarithmen" [mm] \ln.
[/mm]
> Grüße
>
> Norderneyer
Jetzt klar(er)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> Wenn du auf folgende Seite gehst:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Näherungsverfahren
>
> Da steht etwas von Tangente bestimmen.. Bei deinem Beispiel
> hast du nun den Schnittpunkt von 2 Graphen berechnet.. Was
> nehme ich am besten für mein Beispiel (Sollte halt einfach
> sein) und bei welchem kann ich sichergehn, dass ich das
> Thema nicht verfehle?
Wenn du uebrigens in diesem Matheforum nach "Newton" suchst, findest du ein paar gute Erklaerungen des Verfahrens und auch ein paar Beispiele dazu. Also bitte zuerst suchen, ob nicht das gleiche Problem eh schon einmal gestellt wurde
aber gut, mir ist eh grad ein bisserl fad.
ein anderes kurzes Beispiel waere das von der Wikipedia-Seite zur Annaeherung von [mm] \sqrt {2} [/mm]:
angenommen du willst [mm] \sqrt{2} [/mm] berechnen, also
[mm] x = \sqrt{2} [/mm]
[mm] x^2 = 2 [/mm]
umformen zu einer homogenen Gleichung
[mm] x^2 - 2 = 0[/mm]
das heisst wir suchen die (positive) Nullstelle der Funktion
[mm] f(x) = x^2 - 2 [/mm]
und jetzt kommt das Newtonverfahren ins Spiel.
also erst [mm]f'(x) [/mm] berechnen
[mm] f'(x) = 2x - 0 = 2x [/mm]
dann brauchen wir noch einen Startwert [mm]x_0[/mm]
du kannst
[mm]x_0 = 1.5 [/mm]
nehmen, das liegt schon recht nahe an der gesuchten Nullstelle (einen guten Startwert bekommst du entweder durch Ueberlegung - siehe Wikipedia, oder durch Probieren [mm] 1.4^2=1,96; 1.5^2=2,25 [/mm] also muss die Nullstelle irgendwo dazwischen liegen)
so nun verwenden wir endlich das Newton-Verfahren - bitte selbst mitrechnen:
[mm] x_1 := x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} [/mm]
[mm] x_1 := x_0 - \frac{x_0^2-2}{2*x_0} \approx 1.41666667 [/mm]
[mm] x_2 := x_1 - \frac{x_1^2-2}{2*x_1} \approx 1.41421569 [/mm]
[mm] x_3 := x_2 - \frac{x_2^2-2}{2*x_2} \approx 1.41421357 [/mm]
[mm] x_4 := x_3 - \frac{x_3^2-2}{2*x_3} \approx 1.41421357 [/mm]
fertig.
oder mal mit einem anderen Startwert und mit 32 Nachkommastelen:
[mm] x_0 := 2 [/mm]
[mm] x_1 := x_0 - \frac{x_0^2-2}{2*x_0} \approx 1.50000000000000000000000000000000 [/mm]
[mm] x_2 := x_1 - \frac{x_1^2-2}{2*x_1} \approx 1.41666666666666666666666666666667 [/mm]
[mm] x_3 := x_2 - \frac{x_2^2-2}{2*x_2} \approx 1.41421568627450980392156862745099 [/mm]
[mm] x_4 := x_3 - \frac{x_3^2-2}{2*x_3} \approx 1.41421356237468991062629557889014 [/mm]
[mm] x_5 := x_4 - \frac{x_4^2-2}{2*x_4} \approx 1.41421356237309504880168962350254 [/mm]
[mm] x_6 := x_5 - \frac{x_5^2-2}{2*x_5} \approx 1.41421356237309504880168872420971 [/mm]
[mm] x_7 := x_6 - \frac{x_6^2-2}{2*x_6} \approx 1.41421356237309504880168872420970 [/mm]
[mm] x_8 := x_7 - \frac{x_7^2-2}{2*x_7} \approx 1.41421356237309504880168872420970 [/mm]
fertig.
somit erhaelst du eine Annaeherung
[mm] \sqrt{2} \approx 1.41421356237309504880168872420970 [/mm]
(fuer die rechnung hab ich den bash-calculator "bc" benutzt mit scale=8 bzw. scale=32)
jetzt koennte man noch einwerfen:
warum nimmt man nicht einfach als Funktion [mm]f(x)=x-\sqrt{2}[/mm] - da waere ja die Ableitung viel netter und ueberhaupt einfacher zu rechnen ?
Naja, aber dann muessten wir ja [mm] [mm] \sqrt{2} [/mm] in den Taschenrechner beim Verfahren eingeben, und dann haetten wir ja schon [mm]\sqrt{2}[/mm], das macht dann das ganze Beispiel sinnlos 
Verstehst du das Verfahren jetzt?
> Zudem noch ne kurze Frage.. :
> [mm]f(x)=e^{x}[/mm] Was sucht das e da? Bin gerade leicht
> verwirrt.. Kann man's wie n X ansehen?
das hat Informix eh schon gut erklaert.
lG
Peter
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Danke für eure Beiträge..
Ist wohl falsch rübergekommen.. Sicher will ich rechnen, Soll nun nicht aussehen, als würde ich nix dafür tun ;)
Nun.. ich werde mir das ganze morgen noch näher anschauen.. Bin heute auf Abruf und muss nun arbeiten.. :(
Nochmals danke.. das mit dem e schau ich mir auch nochmal genauer an.
Grüße
Norderneyer
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