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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Mo 09.06.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Gesucht ist die positive Lösung der Gleichung [mm] e^x-x-3=0 [/mm] mit dem Newtonverfahren.
(i) Man bestimme ein Intervall, für das die Konvergenzbedingungen des Fixpunkt-Satzes angewandt auf das Newton-Verfahren erfüllt sind.
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Mit dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten.
Nochmal die Bedingungen des Fixpunktsazes:
Wir brauchen ein Intervall S und eine Konstante K<1, so dass für alle [mm] x,y\in [/mm] S:
If(x)-f(y)I [mm] \le [/mm] KIx-yI
und eine abgeschlossene Teilmenge [mm] L\subset [/mm] S mit [mm] F(L)\subset [/mm] L
Für die Menge S kann man K als das Maximum des Betrags der Ableitung in dem Intervall setzen, indem man Ix-yI auf die andere Seite bringt.
Wir suchen also ein Intervall in dem die Ableitung kleiner 1 ist.
Das Newtonverfahren sieht folgendermaßen aus:
[mm] g(x)=x-\bruch{e^x-x-3}{e^x-1}
[/mm]
Dann betrachten wir die Ableitung:
g'(x)= 1- [mm] \bruch{(e^x-1)^2-e^x(e^x-x-3)}{(e^x-1)^2}
[/mm]
Diese Ableitung soll jetzt kleiner sein als 1.
Und dazu finde ich das Intervall leider nicht. Kann mir vielleicht jemand einen Tip geben?
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> Gesucht ist die positive Lösung der Gleichung [mm]e^x-x-3=0[/mm] mit
> dem Newtonverfahren.
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> (i) Man bestimme ein Intervall, für das die
> Konvergenzbedingungen des Fixpunkt-Satzes angewandt auf das
> Newton-Verfahren erfüllt sind.
>
> Mit dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten.
> Nochmal die Bedingungen des Fixpunktsazes:
> Wir brauchen ein Intervall S und eine Konstante K<1, so
> dass für alle [mm]x,y\in[/mm] S:
> If(x)-f(y)I [mm]\le[/mm] KIx-yI
>
> und eine abgeschlossene Teilmenge [mm]L\subset[/mm] S mit
> [mm]F(L)\subset[/mm] L
>
> Für die Menge S kann man K als das Maximum des Betrags der
> Ableitung in dem Intervall setzen, indem man Ix-yI auf die
> andere Seite bringt.
> Wir suchen also ein Intervall in dem die Ableitung kleiner
> 1 ist.
>
> Das Newtonverfahren sieht folgendermaßen aus:
> [mm]g(x)=x-\bruch{e^x-x-3}{e^x-1}[/mm]
> Dann betrachten wir die Ableitung:
> g'(x)= 1- [mm]\bruch{(e^x-1)^2-e^x(e^x-x-3)}{(e^x-1)^2}[/mm]
>
> Diese Ableitung soll jetzt kleiner sein als 1.
>
> Und dazu finde ich das Intervall leider nicht. Kann mir
> vielleicht jemand einen Tip geben?
Hallo jumape,
ich gehe einmal davon aus, dass deine Vorüberlegungen
richtig sind und es nur darum geht, ein solches Intervall
zu finden.
Wenn du in deiner Formel für g'(x) die 1 vor dem
Bruchstrich durch erweitern in diesen einbeziehst, so
vereinfacht sich die Formel schon mal gehörig...
LG
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hi jumape,
hier ein weiterer Tipp:
Man kann [mm]\ g'(x)[/mm] auch folgendermassen schreiben:
[mm]\ g'(x)=1-\bruch{1+e^x*(x+1)}{(e^x-1)^2}[/mm]
Daraus geht leicht hervor, dass [mm]\ g'(x)<1[/mm] für alle positiven x.
Ferner kann man zeigen, dass [mm]\ g''(x)>0[/mm] für alle [mm]\ x>0[/mm].
g' ist deshalb streng monoton steigend für [mm]\ x>0[/mm].
Übrigens ist [mm]\ \limes_{x\rightarrow\infty}g'(x)=1[/mm] .
Wegen der Bedingung [mm]\ |g'(x)|<1[/mm] fehlt nun nur noch
ein geeignetes linkes Ende des Intervalls.
[mm]\ g'(1)=-1.18[/mm] hat einen noch knapp zu grossen Betrag,
aber [mm]\ g'(1.1)=-0.82[/mm] erfüllt die Bedingung schon.
(mit TR habe ich für [mm]\ g'(x)=-1[/mm] die positive Lösung
[mm]\ x=1.0465...[/mm] erhalten)
LG al-Chwarizmi
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