matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieNicht Borel-messbare Menge
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Maßtheorie" - Nicht Borel-messbare Menge
Nicht Borel-messbare Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nicht Borel-messbare Menge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 19.04.2009
Autor: andreaskopfi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich habe eine Frage zur Maßtheorie.
Es ist ja so dass die Lebesgue-messbaren Mengen Mächtigkeit [mm] 2^R [/mm] haben,
die Borel-messbaren aber nur R(R=Mächtigkeit der reellen Zahlen)
Das zeigt man ja z.B. durch die Cantormenge, die eine überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist (und auch borel-messbar), und daher jede Teilmenge lebesgue-messbar ist (wegen Vollständigkeit).

Bedeutet das nun dass jede Teilmenge der Cantormenge NICHT Borelmessbar ist? Oder wie erhält man eine L-mb aber nicht B-mb Menge?

Vielen Dank



        
Bezug
Nicht Borel-messbare Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:28 Di 21.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> ich habe eine Frage zur Maßtheorie.
>  Es ist ja so dass die Lebesgue-messbaren Mengen
> Mächtigkeit [mm]2^R[/mm] haben,

Genau.

>  die Borel-messbaren aber nur R(R=Mächtigkeit der reellen
> Zahlen)

Das weiss ich nicht. Ihre Maechtigkeit ist zumindest echt kleiner.

>  Das zeigt man ja z.B. durch die Cantormenge, die eine
> überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist (und auch
> borel-messbar), und daher jede Teilmenge lebesgue-messbar
> ist (wegen Vollständigkeit).

Damit zeigt man, dass die Maechtigkeit der Lebesgue-messbaren Mengen [mm] $2^R$ [/mm] ist.

> Bedeutet das nun dass jede Teilmenge der Cantormenge NICHT
> Borelmessbar ist? Oder wie erhält man eine L-mb aber nicht
> B-mb Menge?

Nein, das bedeutet nur, dass es Teilmengen der Cantormenge gibt, die Lebesgue-messbar (trivialerweise) aber nicht Borel-messbar sind.

Die Cantormenge selber ist z.B. Borel-messbar, da man zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ endlich viele Intervalle finden kann, mit denen man sie ueberdecken kann und deren Gesamtlaenge [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht ueberschreitet. (Dies bekommt man z.B. hin indem man den Konstruktionsprozess der Cantor-Menge an einem passenden Punkt abbricht: dann hat man die Menge durch endlich viele Intervalle abgedeckt, und die Gesamtlaenge der Intervalle wird im jeden Konstruktionsschritt echt kleiner und konvergiert gegen 0.)

Weiterhin ist auch jede Teilmenge der Cantormenge, die nur aus abzaelhbar vielen Elementen besteht, Borel-messbar.

Und das sind schonmal ziemlich viele. Aber nicht-Borel-messbare Teilmengen gibt es noch viel, viel mehr ;-)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]