Nicht riemann-integrierbar? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Do 22.01.2009 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | Die Funktion
[mm] F:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow [/mm] F(x) := [mm] \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x^2}, & \mbox{für } x\ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist nicht Riemann-integrierbar. |
Ersteres habe ich schon gezeigt und es gilt [mm] f'(x)=\begin{cases} 2x\cdot \sin\frac{1}{x^2} + \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{-2}{x}, & \mbox{für } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0\end{cases}.
[/mm]
Nur wie Zeige ich nun dass f nicht Riemann-Integrierbar ist?
Laut Definition ist f ja Riemann-Integrierbar wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] Treppenfunktionen [mm] f_1, f_2 [/mm] gibt, so dass gilt: [mm] f_1 \le [/mm] f [mm] \le f_2 [/mm] und [mm] Int_{[-1,1]} (f_2-f_1) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Leider habe ich nun aber keine Idee wie ich das Nichtvorhandensein dieser Treppenfunktionen zeigen kann... Über eine Anregung wäre ich dankbar. Oder gibt es hier vielleicht sogar einen ganz anderen (einfacheren/sinnvolleren) Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:33 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die Funktion
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> [mm]F:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow[/mm] F(x) :=
> [mm]\begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x^2}, & \mbox{für } x\ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist nicht
> Riemann-integrierbar.
> Ersteres habe ich schon gezeigt und es gilt
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 2x\cdot \sin\frac{1}{x^2} + \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{-2}{x}, & \mbox{für } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0\end{cases}.[/mm]
Was macht die Funktion wenn $x [mm] \to [/mm] 0$ geht?
> Nur wie Zeige ich nun dass f nicht Riemann-Integrierbar
> ist?
> Laut Definition ist f ja Riemann-Integrierbar wenn es zu
> jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] Treppenfunktionen [mm]f_1, f_2[/mm] gibt, so
> dass gilt: [mm]f_1 \le[/mm] f [mm]\le f_2[/mm] und [mm]Int_{[-1,1]} (f_2-f_1)[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Kann es ueberhaupt Treppenfunktionen geben, die unter oder ueber deiner Ableitung liegen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:25 Do 22.01.2009 | | Autor: | dmy |
> > Ersteres habe ich schon gezeigt und es gilt
> > [mm]f'(x)=\begin{cases} 2x\cdot \sin\frac{1}{x^2} + \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{-2}{x}, & \mbox{für } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0\end{cases}.[/mm]
>
> Was macht die Funktion wenn [mm]x \to 0[/mm] geht?
Ich habe mir das so gedacht: F'(0) = [mm] \lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\cdot\sin\frac{1}{x^2}}{x}=\lim_{x\to0}x\cdot\sin\frac{1}{x^2}=0
[/mm]
Mit dem letzten Schritt war ich mir nicht ganz sicher, aber da x ja gegen Null geht und die Sinus Funktion beschränkt ist, dachte ich dass es sich daher so ergibt... Ist das nicht der Fall?
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> > Nur wie Zeige ich nun dass f nicht Riemann-Integrierbar
> > ist?
> > Laut Definition ist f ja Riemann-Integrierbar wenn es
> zu
> > jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] Treppenfunktionen [mm]f_1, f_2[/mm] gibt, so
> > dass gilt: [mm]f_1 \le[/mm] f [mm]\le f_2[/mm] und [mm]Int_{[-1,1]} (f_2-f_1)[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Kann es ueberhaupt Treppenfunktionen geben, die unter oder
> ueber deiner Ableitung liegen?
Hmm, durch den Cos Term geht die Funktion einerseits bei [mm] x\to0 [/mm] gegen +- [mm] \infty. [/mm] Da das Argument des Cos Ausdruckes immer grösser wird, wird auch immer schneller das Vorzeichen gewechselt...
Aber wieso eigentlich nicht? Grösser als [mm] \frac{2}{x} [/mm] kann der Ausdruck ja eigentlich nicht werden. Also sollte man doch eine nach oben beschränkende Treppenfunktion bilden können... ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo,
vielleicht hilft Dir das weiter:
1. Riemann - integrierbare Funktionen (auf kompakten Intervallen) sind beschränkt.
2. Wähle bei Deiner Aufgabe mal [mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n \pi}}.
[/mm]
Dann ist [mm] (x_n) [/mm] eine Nullfolge. Nun überzeuge Dich davon, dass [mm] |f'(x_n)| [/mm] = 2 [mm] \wurzel{n \pi} [/mm] ist. f' ist also auf [-1,1] nicht beschränkt.
FRED
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