Nichtlineare Ausgleichsrechnun < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 30.07.2005 | | Autor: | chaotica |
Hallo,
ich soll die Theorie und Herleitung der nichtlinearen Ausgleichsrechnung mittels Householder-Verfahren darstellen.
Ziel ist das Anpassen einer Ausgleichskurve für nichtlineare Funktionen und die Berechnung der Parameter.
Bei meiner bisherigen Recherche bin ich immer über die "Methode der kleinsten Quadrate"(MkQ) gestolpert. Leider immer nur im Zusammenhang mit linearen Ausgleichsrechnungen.
Ist die MkQ auch Vorraussetzung (Ansatz) für die nichtlineare Ausgleichsrechnung?
Und wo setzt dann das Housholderverfahren an?
Danke!
P.S.
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hallo chaotica,
die 'MkQ' ist ein Verfahren, was nicht auf lineare regressionsansätze beschränkt ist. sobald du eine ansatzfunktion in abhängigkeit von bestimmten parametern hast, kannst du diese durch die MkQ mehr oder weniger 'optimal' bestimmen.(indem du die summe der residuen berechnest, nach den freien parametern ableitest und die ableitungen nullsetzt)
sobald du allerdings nichtlineare ausgleichsfunktionen suchst, wird das nach der Ableitung entstehende gleichungssystem ebenfalls nichtlinear und ist somit nicht mehr trivial zu lösen. hier müsste man dieses gleichungssystem eventuell über das mehrdimensionale newtonverfahren lösen.
im rahmen des newton-verfahrens braucht man wiederum einen algorithmus, um die ableitung (die Jacobi-Matrix) zu invertieren. Da würde dann vielleicht das Householder-Verfahren zum zuge kommen.
Was den letzten teil angeht, bin ich mir allerdings nicht sicher.
vielleicht hilft dir das ein wenig weiter.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 04.08.2005 | | Autor: | chaotica |
Hallo nochmal,
Vielleicht kann mir jemand erklären wie man folgendes Problem angeht.
Ziel ist das Anpassen einer optimalen Kurve an n Messpunkte.
In einem ebenen KO-System sollen n Punkte ausgewählt werden.
Mittels nichtlinearer Ausgleichsrechnung sollen dann die Parameter der angepassten Funktion berechnet werden. Unter Verwendung des Householder-Verfahrens.
Also... für die n Messpunkt habe ich je Punkt den funktional abhängigen Y-Wert und den unabhängigen X-Wert....
Für einen handfesten Ansatz reicht es leider noch nicht. Für eine erklärende Vorgehensweise wäre ich sehr dankbar.
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Hallo chaotica,
Du hast also
Punktepaare [mm] (y_i,x_i) [/mm] i=1...n
freie Parameter [mm] p_j [/mm] j=1...m
und eine Funktion die von x und den Parametern abhängt [mm] f(x,p_1,..,p_m)
[/mm]
Dann versucht man den mittleren quadratischen Abstand der [mm] y_i [/mm] von den zu [mm] x_i [/mm] gehörenden Funktionswert bezüglich der Parameter zu minimieren
Also
[mm] \summe_{i=0}^{n}(y_i-f(x_i,p_1,...,p_m))^2 \rightarrow [/mm] min
D.h. praktisch bezgl. der Parameter ableiten und dann den Vektor der Ableitungen Null zu setzen. Um dieses Nullstellenproblem zu lösen kann man das Newtonverfahren verwenden.
[mm] x^{k+1}=x^k-F^{'}(x^k)^{-1}F(x^k)
[/mm]
bzw.
[mm] F^{'}(x^k)(x^{k+1}-x^k)=-F(x^k)
[/mm]
Zur Lösung diese Gleichungssystems kann man nun Householder verwenden.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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