Nichtlineare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Klerk91 |
Hallo,
leider kenne ich mich überhaupt nicht mit dem Thema aus und weiß auch nicht, wie man an so eine Gleichung rangeht, ich wäre schon froh, wenn mir jemand ein Stichwort zur Lösung dieser ODE geben könnte(ich erwarte nicht, dass jemand mir die hier löst, aber ich kenne mich leider nicht mit solchen typen aus):
[mm]\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{g*m}{x^2} [/mm]
beste grüße
klerk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Shadi80 |
[mm] \frac{d^2x}{dt^2}= \Rightarrow [/mm] bedeutet, Du musst die zweite Ableitung von [mm] \frac{g*m}{x^2} [/mm] bilden:
Ich nehme an, dass g und m Konstanten sind, also lautet die erste Ableitung:
[mm] \frac{dx}{dt}=\frac{g*m}{x^2}\Rightarrow\frac{-2*g*m}{x^3}
[/mm]
und die Zweite:
[mm] \frac{dx}{dt}=\frac{-2*g*m}{x^3}\Rightarrow \frac{6*g*m}{x^4} [/mm]
also ist:
[mm] \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{g*m}{x^2}\Rightarrow \frac{6*g*m}{x^4} [/mm]
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Hallo Shadi80,
hier geht es leider nicht darum, Ableitungen zu bilden.
Es handelt sich um eine Differentialgleichung, d.h. die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion x(t) in Abhängigkeit von t.
Die Gleichung sagt aus:
Die zweite Ableitung der Funktion x(t) ist gleich g*m durch zweimal die Funktion selbst.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Shadi80 |
Sorry, falsches Thema, hab nicht zu ende gelesen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Soweit ich das sehe, lässt sich keine explizite Lösung angeben; zumindest wäre die nicht schön.
Die Gleichung lässt sich zwar zwei mal integrieren, aber die resultierende Gleichung lässt sich nicht einfach so nach x(t) auflösen.
Vorgehen kannst du aber zunächst mal wie folgt: Du multiplizierst die Gleichung mit [mm]\dot{x}[/mm]. Jetzt kannst du beide Seiten integrieren (an die Kettenregel denken!). Dann erhälst du eine DGL erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen, die man auch nochmal integrieren kann. Danach wirds dann aber wie gesagt recht dunkel.
Beste Grüße,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Klerk91 |
Um ehrlich zu sein, ist mir auch schon unklar, wie man dann integrieren soll.
Du sagst Kettenregel=> Integration durch Substitution?
substituiert man nun [mm]s=\frac{dx}{dt}[/mm]
Was ist denn nun ds?
[mm]ds=\frac{d^2x}{dt^2}dt[/mm]
Wenn das so stimmen sollte, wäre mir auch unklar, wie man das eingesetzt in die Formel irgendwie integrieren kann.
Sry, dass ich so unfähig bin...
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Hallo,
> Um ehrlich zu sein, ist mir auch schon unklar, wie man dann
> integrieren soll.
> Du sagst Kettenregel=> Integration durch Substitution?
Die ist nicht nötig.
Du hast am Anfang:
$x''(t) = [mm] g*m*(x(t))^{-2}$
[/mm]
Nun wurde dir geraten, mit $x'(t)$ zu multiplizieren:
$x'(t)*x''(t) = [mm] g*m*(x(t))^{-2}*x'(t)$
[/mm]
Und nun auf beiden Seiten integrieren nach t:
[mm] $\int [/mm] x'(t)*x''(t)\ dt = [mm] g*m*\int (x(t))^{-2}*x'(t)\ [/mm] dt$
Links lässt sich eine Stammfunktion leicht bestimmen: Sie hat die Form [mm] $\frac{1}{2}*(x'(t))^{2}$ [/mm] (nachprüfen!).
Rechts ist es auch nicht schwer: [mm] $-(x(t))^{-1}$. [/mm] Da die innere Ableitung x''(t) bzw. x'(t) immer schon als Produkt dahintersteht, hast du im Grunde die Form nach Anwendung der Kettenregel! Du brauchst nur noch den Teil vor der inneren Ableitung zu integrieren.
[mm] $\frac{1}{2}*(x'(t))^{2} [/mm] = [mm] -g*m*(x(t))^{-1}+C$
[/mm]
Nun bist du dran.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Klerk91 |
also ich sollte ja nachprüfen:
[mm]\int \frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}dt[/mm]
[mm]s=\frac{dx}{dt}=> ds=\frac{d^2x}{dt^2}dt[/mm]
[mm]\int s ds=\frac{s^2}{2}+C [/mm] mit s=y' wärs bewiesen...
ja aber was soll man denn mit der gleichung, die du zum schluss herausbekommen hast noch machen. die ist doch so gar nicht mehr integrierbar oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Doch die Gleichung ist noch integrierbar; Spaß macht das allerdings nicht mehr.
Du hast:
[mm] \pm \wurzel{\bruch{x}{2Cx-2gm}} \dot{x}=1 [/mm]
Soweit ich weiß, gibt es keinen eleganten Weg um solche Integrale zu lösen. Du musst die Wurzel substituieren, und dich halt durchboxen, aber lösbar ist es. Bloß die Lösung ist halt nicht so schön. Und wie gesagt, du wirst auf keinen geschlossenen Ausdruck für x(t) kommen.
Gruß,
Doing
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Klerk91 |
also einfach Variablentrennung und dann konstanten raus?
[mm] \frac{1}{\sqrt{2*g*M}}\int \sqrt{r}dr=\int [/mm] dt
kommt mir schon ungewohnlich einfach jetzt vor...deswegen frage ich lieber nocheinmal..(-wurzel brauche ich nicht)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Klerk91 |
oh...habe meinen Fehler gesehen...ich geb mich dann mal ans integrieren
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