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Nichtlineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Do 04.11.2010
Autor: Michi_

Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

ich habe eine nichtlineare DGL 1.Ordnung

[mm] x(1-t^2)* [/mm] x' - [mm] t(1-x^2)=0 [/mm]

a.) Bestimmung der stationären Lösung

[mm] x(1-t^2)*x' [/mm] = [mm] t(1-x^2) [/mm]

x' = [mm] \bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)} [/mm]

-> stationäre Lösung bei x=-1, x=1

b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln

[mm] \bruch{dx}{dt} (1-t^2)x [/mm] = [mm] t(1-x^2) [/mm]

[mm] \bruch{x}{1-x^2} [/mm] * dx  = [mm] \bruch{t}{1-t^2} [/mm] * dt

-1/2 [mm] \integral \bruch{-2x}{1-x^2} [/mm] dx = -1/2 [mm] \integral \bruch{-2t}{1-t^2} [/mm] *dt

ln [mm] (1-x^2) [/mm] = ln [mm] (1-t^2) [/mm] +C
[mm] 1-x^2=t^2 [/mm] +C
x=t + C

c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in Abhängigkeit der Integrationskonstante C

c=x-t
x=t+x-t
x=x                       D element aus [mm] R\{0} [/mm]

d.) Wieviel Lösungen hat das AWP x(1)=1

eigentlich nur eine und die exact bei x=1 und t=1 oder??




        
Bezug
Nichtlineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Do 04.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Michi_,

> Hallo,
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe eine nichtlineare DGL 1.Ordnung
>  
> [mm]x(1-t^2)*[/mm] x' - [mm]t(1-x^2)=0[/mm]
>  
> a.) Bestimmung der stationären Lösung
>  
> [mm]x(1-t^2)*x'[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>  
> x' = [mm]\bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)}[/mm]
>  
> -> stationäre Lösung bei x=-1, x=1
>
> b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln
>  
> [mm]\bruch{dx}{dt} (1-t^2)x[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{x}{1-x^2}[/mm] * dx  = [mm]\bruch{t}{1-t^2}[/mm] * dt
>  
> -1/2 [mm]\integral \bruch{-2x}{1-x^2}[/mm] dx = -1/2 [mm]\integral \bruch{-2t}{1-t^2}[/mm]
> *dt
>  
> ln [mm](1-x^2)[/mm] = ln [mm](1-t^2)[/mm] +C
> [mm]1-x^2=t^2[/mm] +C


Das stimmt nicht, denn

[mm]e^{(1-x^2)}=e^{ln(1-t^2) +C}=e^{C}*e^{ln(1-t^2)}=C_{1}*\left(1-t^{2}\right)[/mm]


>  x=t + C
>  
> c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in
> Abhängigkeit der Integrationskonstante C
>  
> c=x-t
>  x=t+x-t
>  x=x                       D element aus [mm]R\{0}[/mm]
>  
> d.) Wieviel Lösungen hat das AWP x(1)=1
>  
> eigentlich nur eine und die exact bei x=1 und t=1 oder??
>  
>


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Nichtlineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Do 04.11.2010
Autor: Michi_

hi,

danke stimmt

ln [mm] (1-x^2) [/mm] = ln [mm] (1-t^2)+C [/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] = [mm] (1-t^2)*C [/mm]
x=+/- [mm] \wurzel{1-(1-t^2)*C} [/mm]

c.)Wenn ich diesen Ausdruck bekomme habe ich doch, wie kann ich dann
den Definitionsbereich in Abhängigkeit von 0 festlegen?



Bezug
                        
Bezug
Nichtlineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Do 04.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Michi_,

> hi,
>  
> danke stimmt
>  
> ln [mm](1-x^2)[/mm] = ln [mm](1-t^2)+C[/mm]
>  [mm]1-x^2[/mm] = [mm](1-t^2)*C[/mm]
>  x=+/- [mm]\wurzel{1-(1-t^2)*C}[/mm]
>  
> c.)Wenn ich diesen Ausdruck bekomme habe ich doch, wie kann
> ich dann
> den Definitionsbereich in Abhängigkeit von 0 festlegen?
>  


Nun, der Ausdruck unter der Wurzel muß größer oder gleich 0 sein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Nichtlineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Di 09.11.2010
Autor: Michi_

[mm] (1-t^2)* [/mm] x' - [mm] t(1-x^2)=0 [/mm]

a.) Bestimmung der stationären Lösung

[mm] x(1-t^2)*x' [/mm] = [mm] t(1-x^2) [/mm]

x' = [mm] \bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)} [/mm]

-> stationäre Lösung bei x=-1, x=1

b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln

[mm] \bruch{dx}{dt} (1-t^2)x [/mm] = [mm] t(1-x^2) [/mm]

[mm] \bruch{x}{1-x^2} [/mm] * dx  = [mm] \bruch{t}{1-t^2} [/mm] * dt

-1/2 [mm] \integral \bruch{-2x}{1-x^2} [/mm] dx = -1/2 [mm] \integral \bruch{-2t}{1-t^2} [/mm] *dt

ln [mm] (1-x^2) [/mm] = ln [mm] (1-t^2) [/mm] +C

[mm] x=\wurzel{1-(1-t^2)*C_1} [/mm]

c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in Abhängigkeit der Integrationskonstante C

C<= [mm] \bruch{1}{t^2+1} [/mm]

d.) Wieviele Lösungen hat das AWP x(1)=1

setze ich nun mein AWP in die allg form ein

bekomme ich

[mm] 1=\wurzel{1-(1-1^2)*C} [/mm]

damit hat die funktion x(1)=1 doch nur eine einzige Lösung
da mein C beim Einsetzen des AWP in die allg. Lösung 0 ergibt??

Danke nochmals

Gruss
Michi_





Bezug
                                        
Bezug
Nichtlineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 09.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Michi_,

> [mm](1-t^2)*[/mm] x' - [mm]t(1-x^2)=0[/mm]
>  
> a.) Bestimmung der stationären Lösung
>  
> [mm]x(1-t^2)*x'[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>  
> x' = [mm]\bruch{t(1-x^2)}{x(1-t^2)}[/mm]
>  
> -> stationäre Lösung bei x=-1, x=1
>
> b.)Löse die DGL durch Trennung der Variabeln
>  
> [mm]\bruch{dx}{dt} (1-t^2)x[/mm] = [mm]t(1-x^2)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{x}{1-x^2}[/mm] * dx  = [mm]\bruch{t}{1-t^2}[/mm] * dt
>  
> -1/2 [mm]\integral \bruch{-2x}{1-x^2}[/mm] dx = -1/2 [mm]\integral \bruch{-2t}{1-t^2}[/mm]
> *dt
>  
> ln [mm](1-x^2)[/mm] = ln [mm](1-t^2)[/mm] +C
>
> [mm]x=\wurzel{1-(1-t^2)*C_1}[/mm]


[mm]x=-\wurzel{1-(1-t^2)*C_1}[/mm]

löst auch die DGL.


>  
> c.) Bestimme den Gültigkeitsbereich der Lösung in
> Abhängigkeit der Integrationskonstante C
>  
> C<= [mm]\bruch{1}{t^2+1}[/mm]


Hier ist der Gültigkeitsbereich für t gefragt.


>  
> d.) Wieviele Lösungen hat das AWP x(1)=1
>  
> setze ich nun mein AWP in die allg form ein
>  
> bekomme ich
>  
> [mm]1=\wurzel{1-(1-1^2)*C}[/mm]
>  
> damit hat die funktion x(1)=1 doch nur eine einzige
> Lösung
>  da mein C beim Einsetzen des AWP in die allg. Lösung 0
> ergibt??


Nein. Mit der Anfangsbedingung x(1)=1 ergibt sich

[mm]1=\wurzel{1-(1-1^2)*C}=\wurzel{1-0*C}[/mm]

Da hier C nicht bestimmbar ist, gibt es unendlich viele Lösungen.


>  
> Danke nochmals
>
> Gruss
>  Michi_
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                
Bezug
Nichtlineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Di 09.11.2010
Autor: Michi_

ok, vielen dank mathepower

gruss
michi

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