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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 15.08.2006 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Nichtlineare Regression |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Frequenz f und die dazugehörige spektrale Dämpfung D als Messwerte vorliegen. Die theoretische Abbildung lauet: [mm] D=exp(a*f^{b}) [/mm] . Mein Problem ist die Bestimmung der Parameter a und b. Meine Idee war a und b durch eine Regression anzupassen:
[mm] D=exp(a*f^{b} [/mm] ) | ln(...)
[mm] ln(D)=a*f^{b} [/mm] |*(-1) da 0<D<1 und sonst der ln(...) nicht definiert wäre
[mm] -ln(D)=-a*f^{b} [/mm] |ln(...)
ln(-ln(D))=ln(-a)+b*ln(f)
Ich kann nun ersetzen:
Y=ln(-ln(D))
X=ln(f)
n=ln(-a)
m=b
und erhalte eine lineare Gleichung: Y=m*X+n
Mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate habe m und n bestimmt:
[mm] m=\bruch{Covar(X,Y)}{Var(X)}
[/mm]
[mm] n=\overline{Y}-m*\overline{X}
[/mm]
Nun noch n und m rücktransformieren: m=b; a=-exp(n) und ich habe die Parameter a und b.
Das Problem ist, dass die so ermittelte theoretische Funktion nicht die Messwerte wiederspiegelt. Speziell der Hochfrequente Anteil wird zu hoch bewertet. Gibt es eine andere Möglichkeit für die Regression bzw. habe ich was falsch gemacht? Noch eine Anmerkung es gilt: -1<a<0.
Vielen Dank für Eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 16.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Durch die nichtlineare Transformation vor Anwendung der linearen Regression handelst du dir folgendes Problem ein:
Ausgehend von deinen $N$ Datenpaaren [mm] $(f_1,D_1),\ldots,(f_N,D_N)$ [/mm] bestimmst du die Koeffizienten $a,b$ so, dass
$$Q(a,b) := [mm] \sum\limits_{k=1}^N [/mm] ~ [mm] \left[ \ln(-a)+b\ln(f_k)-\ln(-\ln(D_k)) \right]^2\qquad [/mm] (3)$$
minimal wird - das ist das Konstruktionsprinzip "Methode der kleinsten Quadrate", welches der linearen Regression nun mal zugrunde liegt.
Das bedeutet jetzt aber mitnichten, dass diese dadurch gefundenen $a,b$ auch die Quadratsumme der Abweichungen
[mm] $$Q_1(a,b) [/mm] := [mm] \sum\limits_{k=1}^N [/mm] ~ [mm] \left[ \exp\left\{ a\cdot f_k^b \right\} - D_k \right]^2\qquad [/mm] (1)$$
des Originalproblems minimiert - auch nicht die der ersten Transformationsstufe
[mm] $$Q_2(a,b) [/mm] := [mm] \sum\limits_{k=1}^N [/mm] ~ [mm] \left[ a\cdot f_k^b - \ln(D_k) \right]^2\qquad [/mm] (2)$$
Bei angenommenen positiven $b$ hat das zur Folge, dass bei höheren Frequenzen die Modellabweichungen nicht so stark "bestraft" werden, wie du es vielleicht gerne hättest.
Als vielleicht bessere Lösung bleibt dir, statt Regression nach Modell (3) eine solche nach Modell (1) oder (2) durchzuführen, was allerdings nicht mehr mit geschlossenen Formeln sondern nur noch über numerische Näherungsverfahren möglich ist. Jedes bessere Statistikprogramm (SPSS, S-Plus, ...) sollte aber auch solche Modelle beherrschen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 16.08.2006 | | Autor: | u.spank |
Vielen Dank DirkG, ich glaube, das es jetzt klappt... - Großes Dankeschön
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