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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Eine Messung der Periodendauer T der Schwingung eines Fadenpendels in Abhängigkeit von dessen Länge L ergab folgende Messwerte:
[mm] \vmat{ L (Meter) & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 1,0 \\ T (Sekunden) & 0,9 & 1,0 & 1,3 & 1,4 & 1,5 & 1,7 & 1,8 & 1,9 & 2,0 }
[/mm]
Stellen Sie die Daten als Punktwolke dar! Nehmen Sie einen Zusammenhang der Form [mm] T=aL^{b} [/mm] an und bestimmen Sie diejenigen Parameter a und b, für welche sich der zugehörige Funktiongraph am besten der gegebenen Punktwolke anpasst, indem Sie die Daten geeignet transformieren und das Problem auf eine lineare Regression zurückführen. |
Hallo liebe Matheraum- Community,
1.) Wie genau zeichne ich die geforderte Punktwolke ein? Wenn ich die in der Tabelle vorgegebenen Wertepaare in ein Koordinatensystem eintrage, so erhalte ich im Zuge einer gedachten Verbindung der entstehenden Punkte logischerweise eine recht lineare Funktion. Im Hinblick auf das Thema "Nichtlineare Regression" kann das doch aber nicht stimmen, oder? Müsste man hier ggf. mit der vorgegebenen Funktion [mm] T=aL^{b} [/mm] arbeiten?
2.) Im zweiten Schritt würde ich dann die Funktion und die entsprechenden Wertepaare folgendermaßen transformieren, um das Problem auf eine lineare Regression zurückführen:
ln(T)=ln(a)+b*ln(L)
sowie [mm] ln(L_{i}) [/mm] und [mm] ln(T_{i})
[/mm]
3.) Dann würde ich über das Verfahren der linearen Einfachregression sowie über das Verfahren der Kleinste- Quadrate- Schätzer die entsprechenden Bestandteile der zu erhaltenden Funktion ermitteln:
[mm] b=\bruch{\summe_{i=1}^{n}ln(L_{i})*ln(T_{i})-n*\overline{ln(L)}*\overline{ln(T)}}{\summe_{i=1}^{n}(ln(L_{i}))^{2}-n*(\overline{ln(L)})^{2}}
[/mm]
und a gemäß:
[mm] ln(a)=\overline{ln(T)}-b*\overline{ln(L)}
[/mm]
sowie die Residuen:
[mm] \varepsilon_{i}=ln(T_{i})-ln(T_{i}^{,}), [/mm] mit [mm] ln(T_{i}^{,})=a+b*ln(L_{i})
[/mm]
Könnte ich so vorgehen? Folgende Werte bekomme ich heraus a=0,94 und b=-0,69. Irgendwie kann das doch nicht stimmen, wenn man sich beispielsweise im Zuge dieser Koeffizienten mal einige Punkte einzeichnet. Über einige hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Do 27.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
> 1.) Wie genau zeichne ich die geforderte Punktwolke ein?
> Wenn ich die in der Tabelle vorgegebenen Wertepaare in ein
> Koordinatensystem eintrage, so erhalte ich im Zuge einer
> gedachten Verbindung der entstehenden Punkte logischerweise
??? Wieso logischerweise?
> eine recht lineare Funktion. Im Hinblick auf das Thema
> "Nichtlineare Regression" kann das doch aber nicht stimmen,
> oder? Müsste man hier ggf. mit der vorgegebenen Funktion
> [mm]T=aL^{b}[/mm] arbeiten?
Ich sehe eine monoton ansteigende Punktwolke mit einem
leichten Bogen.
>
>
> 2.) Im zweiten Schritt würde ich dann die Funktion und die
> entsprechenden Wertepaare folgendermaßen transformieren, um
> das Problem auf eine lineare Regression zurückführen:
>
>
> ln(T)=ln(a)+b*ln(L)
>
> sowie [mm]ln(L_{i})[/mm] und [mm]ln(T_{i})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> 3.) Dann würde ich über das Verfahren der linearen
> Einfachregression sowie über das Verfahren der Kleinste-
> Quadrate- Schätzer die entsprechenden Bestandteile der zu
> erhaltenden Funktion ermitteln:
>
>
> [mm]b=\bruch{\summe_{i=1}^{n}ln(L_{i})*ln(T_{i})-n*\overline{ln(L)}*\overline{ln(T)}}{\summe_{i=1}^{n}(ln(L_{i}))^{2}-n*(\overline{ln(L)})^{2}}[/mm]
>
>
> und a gemäß:
>
>
> [mm]ln(a)=\overline{ln(T)}-b*\overline{ln(L)}[/mm]
>
>
>
> sowie die Residuen:
>
>
> [mm]\varepsilon_{i}=ln(T_{i})-ln(T_{i}^{,}),[/mm] mit
> [mm]ln(T_{i}^{,})=a+b*ln(L_{i})[/mm]
>
>
> Könnte ich so vorgehen?
> Folgende Werte bekomme ich heraus
> a=0,94 und b=-0,69. Irgendwie kann das doch nicht stimmen,
> wenn man sich beispielsweise im Zuge dieser Koeffizienten
> mal einige Punkte einzeichnet. Über einige hilfreiche Tipps
> würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Stimmt, zumal b positiv sein muss. *Ich* erhalte a=0.6964 und b=0.5188.
Sieht sehr gut aus im transformierten Streudiagramm.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hey Luis52,
vielen Dank für deine Antwort. Nach einigem Nachrechnen kam ich dann auch irgendwann auf deine Ergebnisse. Durch dieses ständige Aufsummieren der einzelnen Teilsummanden macht man schnell einen Fehler. Na ja, wie du schon sagtest, man bekommt einen leichten Bogen. Auf den ersten Blick sah es da für mich nach einer linearen Funktion aus. Aber nochmals vielen Dank für deine Bemühungen.  Gruß,
Marcel
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