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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Nilpotente Abbildung
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Nilpotente Abbildung: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:43 Mi 10.06.2015
Autor: Ne0the0ne

Aufgabe
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f [mm] \in End_K [/mm] (V) mit [mm] (\*) [/mm]
[mm] \underbrace{f \circ f \circ ... \circ f }_{r} [/mm] = [mm] 0_v [/mm]

Zeigen Sie:
(i) Es existiert eine Fahne [mm] {0_v}=V_0 \subseteq V_1 \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq V_n [/mm] = V von f-invarianten Unterräumen mit [mm] dim(V_i)=i [/mm]
(ii) Gleichung [mm] (\*) [/mm] gilt mit einem r [mm] \le [/mm] n = dim(V).

Guten Morgen,

ich hänge leider schon seit letzter Woche an dieser Aufgabe und ich glaube, mir fehlen nur wenige Schritte zur Lösung.

Erstmal zu den Begriffen:
- Nilpotente Abbildung bedeutet, dass eine Abbildung f beliebig oft hintereinander ausgeführt nur noch den Nullvektor abbildet.
- f-invarianter Unterraum bedeutet, dass alle Bilder aller Elemente eines Unterraums wieder eine Teilmenge des Unterraums sind, also [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W: f(W) [mm] \subseteq [/mm] W
- eine Fahne ist eine Verknüpfung von Unterräumen, wobei mit aufsteigendem Index die Dimension steigt (darum sieht geometrisch [mm] V_0,V_1,V_2 [/mm] aus wie eine Fahne)

Jetzt zur Aufgabe (i):
Ich habe erstmal die Fahne von rechts nach links aufgeschrieben, also
[mm] V=V_n \supseteq [/mm] ... [mm] \supseteq V_1 \supseteq V_0 [/mm] = [mm] {0_v}, [/mm] weil durch die Hintereinanderausführung der Abbildung f "Dimensionen verloren gehen".

Da "Dimensionen verloren gehen" werden also Basisvektoren [mm] v_i [/mm] eines Unterraumes [mm] V_i [/mm] durch die Abbildung f auf [mm] 0_v [/mm] im Unterraum [mm] V_i_-_1 [/mm] abgebildet, die dann in der Menge ker(f) zusammengefasst werden,
wobei [mm] ker(f)\cup V_i_-_1 [/mm] gilt.
Damit ist gezeigt, dass jeder Unterraum nichtleer und das neutrale Element [mm] 0_v [/mm] besitzt.

Ab hier habe ich dann Probleme den Sachverhalt weiter zu zeigen.
Stimmt es wenigstens bis hierher oder habe ich elementare Fehler begannen?

Eine Antwort wäre echt super!

Viele Grüße.

        
Bezug
Nilpotente Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Fr 12.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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