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Nilpotente Endomorpihsmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Do 18.10.2007
Autor: jmeini

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo! Ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht.

Aufgabe
Sei x: V [mm] \to [/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus. Zeigen Sie, dass es ein von null verschiedener Vektor v [mm] \in [/mm] V gibt, so dass xv = 0.

Ich habe nur rausgefunden, dass das mit hilfe von Jordanscha Normalform bewiesen wird. Stimmt das?

Vielen Dank.

        
Bezug
Nilpotente Endomorpihsmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Do 18.10.2007
Autor: felixf

Hallo.

> Sei x: V [mm]\to[/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus. Zeigen Sie,
> dass es ein von null verschiedener Vektor v [mm]\in[/mm] V gibt, so
> dass xv = 0.
>
>  Ich habe nur rausgefunden, dass das mit hilfe von
> Jordanscha Normalform bewiesen wird. Stimmt das?

Ja, das geht. Aber es geht auch ohne, also direkt.

Die Bedingung (Existenz eines solchen Vektors) heisst ja gerade, dass der Kern von $x$ nicht trivial ist. Und das bedeutet nichts anderes, als dass $x$ u.a. den Eigenwert 0 hat.

So. Welche Eigenwerte kann ein nilpotenter Endomorphismus jetzt haben?

LG Felix


Bezug
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