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Forum "Lineare Abbildungen" - Nilpotente Matrix
Nilpotente Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nilpotente Matrix: Dimension, Unterraum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Sa 05.07.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und sei [mm] $\phi\in [/mm] End(V)$ nilpotent mit Nilpotenzgrad d. Zeigen Sie, dass gilt [mm] $d\leq [/mm] n$

Hi,

ich habe eine Frage zu der Lösung dieser Aufgabe.

Es gilt:

[mm] $\phi(v)^{d-1}\neq [/mm] 0$. Nach einem Satz aus der Vorlesung sind also die Vektoren:

$v, [mm] \phi(v), [/mm] ..., [mm] \phi^{d-1}(v)$ [/mm] linear unabhängig, und der davon erzeugte Vektorraum ein Untervektorraum von V und [mm] $\phi$-Invariant. [/mm]

[mm] $U:=\langle\{v, \phi(v), ..., \phi^{d-1}(v)\}$ [/mm]

Nun gilt

[mm] $dim(U)\leq [/mm] dim(V)$

Meine Frage ist, warum dies nun als Beweis ausreicht?
Liegt es daran, dass [mm] $U\quad \phi$-Invariant [/mm] ist?

        
Bezug
Nilpotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 So 06.07.2014
Autor: hippias

Nein, die [mm] $\phi$-Invarianz [/mm] von $U$ ist fuer die Behauptung nicht entscheidend, sondern die Dimensionen der beteiligten Raeume.

Bezug
                
Bezug
Nilpotente Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 06.07.2014
Autor: YuSul

Und in wie fern liefert die Dimension der Räume hier eine Begründung, dass der Nilpotenzgrad kleiner als n sein muss?
Das leuchtet mir gerade nicht so sehr ein.

Bezug
                        
Bezug
Nilpotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 So 06.07.2014
Autor: Berieux

In V können höchstens n Vektoren linear unabhängig sein.

Bezug
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