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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 23.03.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in{M_{2\times{2}}(K)} [/mm] und sei [mm] A^2 [/mm] die Nullmatrix. Man zeige, dass für jedes [mm] \lambda\in{K}
[/mm]
[mm] det(\lambda*E-A)=\lambda^2 [/mm] gilt. |
Hi,
zuerst dachte ich, folgendes bringt mich weiter:
[mm] A^2 [/mm] Nullmatrix [mm] \Rightarrow [/mm] A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix B, dass heißt, es [mm] \exists P\in{M_{2\times{2}}(K)} [/mm] Invertierbar mit [mm] A=P^{-1}*B*P
[/mm]
Aber das bringt mir nichts.
Hat da evtl. jemand eine Idee?
Danke.
MfG barsch
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Hi,
> Sei [mm]A\in{M_{2\times{2}}(K)}[/mm] und sei [mm]A^2[/mm] die Nullmatrix. Man
> zeige, dass für jedes [mm]\lambda\in{K}[/mm]
>
> [mm]det(\lambda*E-A)=\lambda^2[/mm] gilt.
> Hi,
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> zuerst dachte ich, folgendes bringt mich weiter:
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> [mm]A^2[/mm] Nullmatrix [mm]\Rightarrow[/mm] A ist ähnlich zu einer oberen
> Dreiecksmatrix B, dass heißt, es [mm]\exists P\in{M_{2\times{2}}(K)}[/mm]
> Invertierbar mit [mm]A=P^{-1}*B*P[/mm]
>
> Aber das bringt mir nichts.
>
0 = [mm] A^2 [/mm] = [mm] (P^{-1}*B*P)^2 [/mm] = [mm] P^{-1}*B^{2}*P \Rightarrow B^2 [/mm] = 0.
Wir wissen dass B eine Dreiecksmatrix, zusätzlich ist [mm] B^2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Die Diagonale von B besteht aus Nullen. Also falls B eine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist B = [mm] \pmat{ 0 & b \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Nun kommt der Determinantenmultiplikationssatz: det(X Y) = det(X) det(Y).
Also:
[mm] det(\lambda*E-A) [/mm] = [mm] det(P^{-1}*\lambda*P-P^{-1}*B*P) [/mm] = [mm] det(P^{-1}*(\lambda*E-B)*P) [/mm] = ... = [mm] det(\pmat{ \lambda & -b \\ 0 & \lambda }) [/mm] = ...
Gruss,
logarithmus
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