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Nilpotenz: nilpotente Endomorphismen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Fr 15.05.2015
Autor: Lara001

Aufgabe
a) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Zeigen Sie: Für einen Endomorphismus f:V [mm] \to [/mm] V mit [mm] f^{2}=0 [/mm] gilt

dim(Bild(f)) [mm] \le \bruch{n}{2} [/mm]

b) Seien m,n [mm] \in \IN [/mm] mit 2m [mm] \le [/mm] n. Konstruieren Sie einen Endomorphismus [mm] f:K^n \to K^n [/mm] mit [mm] f^2=0 [/mm] und dim(Bild(f))= m

Hallo

ich komm mit der Aufgabe nicht wirklich weiter.

a) dim(Bild(f)) ist bei einem Endomorphismus ja gleich der dim(V) wie kann das dann kleiner als n sein?

Hilft es mir weiter den rang zu betrachten?
Wenn [mm] f^2=0 [/mm] ist muss ja der rang der Abbildungsmatrix kleiner n sein.

danke schonmal :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Nilpotenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Fr 15.05.2015
Autor: hippias


>  Hallo
>  
> ich komm mit der Aufgabe nicht wirklich weiter.
>  
> a) dim(Bild(f)) ist bei einem Endomorphismus ja gleich der
> dim(V) wie kann das dann kleiner als n sein?

Nein, das waere richtig, wenn $f$ surjektiv waere. Aber das kann ja nicht sein. Mein Tip: Ueberlege Dir welcher Zusammenhang zwischen Bild und Kern von $f$ gilt, wenn [mm] $f^{2}=0$ [/mm] ist. Kombinierst Du diese Information mit in der bekannten Formel fuer Endomorphismen endlichdimensionaler Raeume $dim(Kern f)+ dim(Bild f)= dim V$, so beweist Du schnell die Behauptung.

>  
> Hilft es mir weiter den rang zu betrachten?
>  Wenn [mm]f^2=0[/mm] ist muss ja der rang der Abbildungsmatrix
> kleiner n sein.
>  
> danke schonmal :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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Bezug
Nilpotenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Fr 15.05.2015
Autor: tobit09

Hallo hippias!


> > a) dim(Bild(f)) ist bei einem Endomorphismus ja gleich der
> > dim(V) wie kann das dann kleiner als n sein?
>  Nein, das waere richtig, wenn [mm]f[/mm] surjektiv waere. Aber das
> kann ja nicht sein.

Außer im Falle n=0.


Viele Grüße
Tobias

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Bezug
Nilpotenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Fr 15.05.2015
Autor: Lara001

Hallo

Danke erstmal für eure Antworten. :)

Wenn ich dass jetzt richtig verstehe muss ich so argumentieren..

da f nilpotent ist folgt daraus, dass dim(Bild(f)) [mm] \subseteq [/mm] dim(Kern(f)) ist. Zudem f(f(x))=0

aus dem Dimensionssatz folgt dann: dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) mit maximal [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n}{2}=n [/mm]

soweit richtig?

und was muss ich bei b) machen?

Liebe grüße :)



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Nilpotenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Sa 16.05.2015
Autor: hippias


> Hallo
>  
> Danke erstmal für eure Antworten. :)

So formuliert wuerde ich Dir sicher nicht volle Punktzahl geben; wenn der Korrektor streng ist, koennte er Deinen Beweis als schlicht falsch ansehen.

>  
> Wenn ich dass jetzt richtig verstehe muss ich so
> argumentieren..
>  
> da f nilpotent ist folgt daraus, dass dim(Bild(f))
> [mm]\subseteq[/mm] dim(Kern(f)) ist. Zudem f(f(x))=0

Nein. Nicht aus der Nilpotenz folgt $Bild [mm] f\leq [/mm] Kern f$.

>  
> aus dem Dimensionssatz folgt dann:
> dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) mit maximal [mm]\bruch{n}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{2}=n[/mm]

Was soll das bedeuten. Glaubst Du etwa, dass $dim Kern(f)$ hoechstens [mm] $\frac{n}{2}$ [/mm] ist? Das waere falsch.

>  
> soweit richtig?
>  
> und was muss ich bei b) machen?

Praesentiere Deine Idee. Kaum jemand wird fuer Dich die Hausaufgaben erledigen. Nuetzlich koennte sein sich zu erinnern, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis eindeutig festgelegt ist.

>  
> Liebe grüße :)
>  
>  


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Nilpotenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Sa 16.05.2015
Autor: fred97


> Hallo
>  
> Danke erstmal für eure Antworten. :)
>  
> Wenn ich dass jetzt richtig verstehe muss ich so
> argumentieren..
>  
> da f nilpotent ist folgt daraus, dass dim(Bild(f))
> [mm]\subseteq[/mm] dim(Kern(f)) ist.

Eine Teilmengenbeziehung zwischen Zahlen ist Unsinn ! Es ist


   Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(f).

Das folgt aus [mm] f^2=0. [/mm]






> Zudem f(f(x))=0
>  
> aus dem Dimensionssatz folgt dann:
> dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) mit maximal [mm]\bruch{n}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{2}=n[/mm]
>  
> soweit richtig?


Das ist doch nur im Nebel gestochert.


Kombiniere  $ dim(Kern f)+ dim(Bild f)= n$ und $  Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(f).$

>  
> und was muss ich bei b) machen?



Ein Beispiel angeben. Mach Dir das Leben einfach und nimm m=1 und n=2.

FRED

>  
> Liebe grüße :)
>  
>  


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Nilpotenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 So 17.05.2015
Autor: Lara001

Danke für eure Antworten :)

zu dim(bild) [mm] \subseteq [/mm] dim(kern) das war nur nen schreibfehler sry :)

hab jetzt:

[mm] f^2=0 \Rightarrow [/mm] f(f)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in [/mm] kern(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] bild(f) [mm] \subseteq [/mm] kern(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] dim(kern(f))
[mm] \gdw [/mm] dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] n-dim(bild(f))
[mm] \gdw [/mm] 2*dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] n
[mm] \gdw [/mm] dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] n/2

soweit richtig?

Bezug
                                
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Nilpotenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 So 17.05.2015
Autor: Lara001

bei b) hab ich jetzt ganz einfach folgendes:

[mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]

da ist bild(f)={ [mm] x*\vektor{1 \\ 0}|x \in \IR [/mm] }

Bezug
                                        
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Nilpotenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:22 Mo 18.05.2015
Autor: fred97


> bei b) hab ich jetzt ganz einfach folgendes:
>  
> [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit  [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> da ist bild(f)={ [mm]x*\vektor{1 \\ 0}|x \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}


Das passt.

FRED

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Nilpotenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 So 17.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für eure Antworten :)
>  
> zu dim(bild) [mm]\subseteq[/mm] dim(kern) das war nur nen
> schreibfehler sry :)
>  
> hab jetzt:
>  
> [mm]f^2=0 \Rightarrow[/mm] f(f)=0

rechts meinst Du $f [mm] \circ [/mm] f=0$

> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] kern(f)

Das macht keinen Sinn. Aus $f [mm] \circ [/mm] f=0$ folgt wegen $(f [mm] \circ f)(v)=f(\;f(v)\;)$ [/mm]

    [mm] $f(\;f(v)\;)=0$ [/mm] für alle $v [mm] \in V\,,$ [/mm]

also

    $f(f(V))=0$ bzw. [mm] $\underbrace{\text{Bild}(f)}_{=f(V)} \subseteq \text{Kern}(f)\,.$ [/mm]

Also das, was Du jetzt schreibst!

> [mm]\Rightarrow[/mm] bild(f) [mm]\subseteq[/mm] kern(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] dim(kern(f))
>  [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n-dim(bild(f))
>  [mm]\gdw[/mm] 2*dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n
>  [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n/2
>  
> soweit richtig?

Ich habe leider keine Zeit, für über mehr drüberzugucken...

Gruß,
  Marcel

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Nilpotenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:20 Mo 18.05.2015
Autor: fred97


> Danke für eure Antworten :)
>  
> zu dim(bild) [mm]\subseteq[/mm] dim(kern) das war nur nen
> schreibfehler sry :)
>  
> hab jetzt:
>  
> [mm]f^2=0 \Rightarrow[/mm] f(f)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] kern(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] bild(f) [mm]\subseteq[/mm] kern(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] dim(kern(f))
>  [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n-dim(bild(f))
>  [mm]\gdw[/mm] 2*dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n
>  [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n/2
>  
> soweit richtig?

Ja, bis auf den Unsinn  [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] kern(f)

FRED


Bezug
                                        
Bezug
Nilpotenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:23 Mo 18.05.2015
Autor: Lara001

danke :)

Bezug
        
Bezug
Nilpotenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Fr 15.05.2015
Autor: tobit09

Hallo Lara001!


> Hilft es mir weiter den rang zu betrachten?
>  Wenn [mm]f^2=0[/mm] ist muss ja der rang der Abbildungsmatrix
> kleiner n sein.

Das stimmt im Falle $n>0$. Im Falle $n=0$ stimmt es nicht.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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