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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 So 18.04.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei R ein Ring. Ein Element x heißt Nilpotent, falls n [mm] \in \IN [/mm] existiert mit [mm] x^{n} [/mm] = 0.
Zeigen Sie, dass Wenn R kommutativ ist und x und y nilpotent sind, dann ist x+y auch nilpotent.
Ausgehen davon zeigen Sie dass wenn R nicht kommutativ ist, dies im Allgemeinen falsch ist!
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Hallo,
Habe da eine Idee und wollte euch mal bitten diese zu kontrollieren.
Danke im Voraus.
Also
[mm] (X+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}x^{n-k} y^{k} [/mm] nun sind y und x aber nilpotent dann gilt:
[mm] (X+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} x^{n-k} y^{k} [/mm] = [mm] k_1 x^{n-1}y [/mm] + [mm] k_2 x^{n-2} y^{2} [/mm] + ….+ [mm] k_{n-2} [/mm] x [mm] y^{n-1}
[/mm]
Wobei [mm] k_i [/mm] die erzeugten Koeffizienten sind, die nicht weiter Interressieren
Betrachten wir den Term
[mm] k_1 x^{n-1}y [/mm] + [mm] k_2 x^{n-2} y^{2} [/mm] + ….+ [mm] k_{n-2} [/mm] x [mm] y^{n-1}
[/mm]
= [mm] k_1 x^{n} x^{-1}y [/mm] + [mm] k_2 x^{n} x^{-2} y^{2} [/mm] + ….+ [mm] k_{n-2} x^{n-(n-1)} y^{n-1}
[/mm]
= [mm] x^{n} (k_1 x^{-1}y [/mm] + [mm] k_2 x^{-2} y^{2} [/mm] +…+ [mm] k_{n-2} x^{n-1} y^{n-1})
[/mm]
= 0
Dies kann man mit y auch vollziehen, wobei dann beim Auseinander ziehen der Potenzen und dem Ausklammern letztlich die Kommutativität nutzt
Wenn Kommutativität nicht gegeben ist dann gilt:
[mm] (X+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^{n-k} y^{k} [/mm] nun sind y und x aber nilpotent dann gilt:
[mm] (X+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^{n-k} y^{k} [/mm] = [mm] k_1 x^{n-1}y [/mm] + [mm] k_2 x^{n-2} y^{2} [/mm] + ….+ [mm] k_{n-2} [/mm] x [mm] y^{n-1} \not= [/mm] 0
Oder etwa nicht?
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also
> [mm](X+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}x^{n-k} y^{k}[/mm]
> nun sind y und x aber nilpotent dann gilt:
> [mm](X+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} x^{n-k} y^{k}[/mm]
> = [mm]k_1 x^{n-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{n-2} y^{2}[/mm] + ….+ [mm]k_{n-2}[/mm] x
> [mm]y^{n-1}[/mm]
Also, zu x und y ist das n im Allgemeinen nicht gleich, also es könnte [m]x^2=0[/m], aber [m]y^2\neq 0 [/m] gelten. Probiere mal die Summe der beiden "Nilpotenz-Grade" ...
> Betrachten wir den Term
> [mm]k_1 x^{n-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{n-2} y^{2}[/mm] + ….+ [mm]k_{n-2}[/mm] x
> [mm]y^{n-1}[/mm]
> = [mm]k_1 x^{n} x^{-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{n} x^{-2} y^{2}[/mm] + ….+
> [mm]k_{n-2} x^{n-(n-1)} y^{n-1}[/mm]
> = [mm]x^{n} (k_1 x^{-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{-2} y^{2}[/mm]
> +…+ [mm]k_{n-2} x^{n-1} y^{n-1})[/mm]
> = 0
Die Inversen existieren nicht - hätte es ein Inverses, so wäre es nicht nilpotent.
> Wenn Kommutativität nicht gegeben ist dann gilt:
> [mm](X+y)^{n}[/mm] = [mm][mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^{n-k} y^{k}[/mm
[/mm]
Falsch, da sie nicht kommutativ sind.
> Oder etwa nicht?
Eher nicht - versuch ein konkretes Gegenbeispiel zu geben. Nur weil sie nicht kommutieren, kann immer noch [m]x+y[/m] nilpotent sein, muss aber eben nicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:20 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Ultio |
> > Also
> > [mm](X+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}x^{n-k} y^{k}[/mm]
> > nun sind y und x aber nilpotent dann gilt:
> > [mm](X+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} x^{n-k} y^{k}[/mm]
> > = [mm]k_1 x^{n-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{n-2} y^{2}[/mm] + ….+ [mm]k_{n-2}[/mm] x
> > [mm]y^{n-1}[/mm]
>
> Also, zu x und y ist das n im Allgemeinen nicht gleich,
> also es könnte [m]x^2=0[/m], aber [m]y^2\neq 0[/m] gelten. Probiere mal
> die Summe der beiden "Nilpotenz-Grade" ...
[mm] x^{n} [/mm] = 0
[mm] y^{m} [/mm] = 0 mit m [mm] \not= [/mm] n, aber n [mm] \ge [/mm] m
[mm] y^{m}+x^{n} [/mm] = 0
[mm] \summe_{k=n}^{m} \vektor{m \\ k} x^{m-k} y^{k} [/mm] wird betrachtet
Mal eine andere Frage: wenn [mm] x^{n} [/mm] = 0 ist dann auch [mm] x^{n+1} [/mm] = 0?
>
> > Betrachten wir den Term
> > [mm]k_1 x^{n-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{n-2} y^{2}[/mm] + ….+ [mm]k_{n-2}[/mm] x
> > [mm]y^{n-1}[/mm]
> > = [mm]k_1 x^{n} x^{-1}y[/mm] + [mm]k_2 x^{n} x^{-2} y^{2}[/mm] + ….+
> > [mm]k_{n-2} x^{n-(n-1)} y^{n-1}[/mm]
> > = [mm]x^{n} (k_1 x^{-1}y[/mm] +
> [mm]k_2 x^{-2} y^{2}[/mm]
> > +…+ [mm]k_{n-2} x^{n-1} y^{n-1})[/mm]
> > = 0
>
> Die Inversen existieren nicht - hätte es ein Inverses, so
> wäre es nicht nilpotent.
>
Einleuchtend.
> > Wenn Kommutativität nicht gegeben ist dann gilt:
> > [mm](X+y)^{n}[/mm] = [mm][mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\k} x^{n-k} y^{k}[/mm[/mm]
> Falsch, da sie nicht kommutativ sind.
> > Oder etwa nicht?
> Eher nicht - versuch ein konkretes Gegenbeispiel zu geben. Nur weil sie > nicht kommutieren, kann immer noch [m]x+y[/m] nilpotent sein, muss
> aber eben nicht.
> SEcki
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Mo 19.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\summe_{k=n}^{m} \vektor{m \\ k} x^{m-k} y^{k}[/mm] wird
> betrachtet
Nein, das bringt auch noch nichts ... weiter versuchen!
> Mal eine andere Frage: wenn [mm]x^{n}[/mm] = 0 ist dann auch [mm]x^{n+1}[/mm]
> = 0?
Ja - aber wieso? Die Erkenntnis sollte dich weiterbringen.
SEcki
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