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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1.
a) Sei $B$ in $M(n)$ nilpotent. Zeige, dass [mm] $B^{n}=0$ [/mm]
b) Sei $A$ in $M(n)$ nicht nilpotent mit [mm] $A^{q}=A^{q-1}$ [/mm] für ein $q [mm] \in \IN$. [/mm] Zeige, dass [mm] $A^{n}=A^{n-1}$. [/mm] |
Hallo,
a) eine nilpotente Matrix hat die Eigenwerte 0 mit der algebraischen Vielfachheit n und deshalb ist [mm] $B^{n}$ [/mm] = 0 Oder: wenn [mm] $B^{n} \ne [/mm] 0$ dann wäre $B$ keine nilpotente Matrix.
b) A ist nicht nilpotent und besitzt mindestens einen Eigenwert [mm] $\ne$ [/mm] 0. Gelte [mm] $A^{n} \ne A^{n-1}$ [/mm] dann ist A nilpotent.
Wie zeige ich das?? Mit Cayley Hamilton??
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1.
> a) Sei [mm]B[/mm] in [mm]M(n)[/mm] nilpotent. Zeige, dass [mm]B^{n}=0[/mm]
> b) Sei [mm]A[/mm] in [mm]M(n)[/mm] nicht nilpotent mit [mm]A^{q}=A^{q-1}[/mm] für ein
> [mm]q \in \IN[/mm]. Zeige, dass [mm]A^{n}=A^{n-1}[/mm].
> Hallo,
>
> a) eine nilpotente Matrix hat die Eigenwerte 0 mit der
> algebraischen Vielfachheit n und deshalb ist [mm]B^{n}[/mm] = 0
Na ja, da fehlt wieder einiges an Begründungen.
1. ist B nilpotent, so hat B genau den Eigenwert 0, somit ist das char. Plynom von B : [mm] p(t)=t^n. [/mm] Was sagen die Herren Cayley und Hamilton dazu ?
> Oder: wenn [mm]B^{n} \ne 0[/mm] dann wäre [mm]B[/mm] keine nilpotente
> Matrix.
Na, na, wenn Du so argumentierst mußt Du ausschließen können, dass [mm] B^m=0 [/mm] für ein m>n gilt.
>
> b) A ist nicht nilpotent und besitzt mindestens einen
> Eigenwert [mm]\ne[/mm] 0. Gelte [mm]A^{n} \ne A^{n-1}[/mm] dann ist A
> nilpotent.
Überlege Dir, dass A nur die Eigenwerte 0 und 1 haben kann. A muß den Eigenwert 1 habe, anderenfalls wäre A nilpotent. Wie sieht das char. Polynom von A aus ?
FRED
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> Wie zeige ich das?? Mit Cayley Hamilton??
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> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
> kushkush
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Hallo,
> Cayley
[mm] $p(t)=t^{n} \Rightarrow A^{n}=0$ [/mm]
> b) charak. Polynom 1 und 0
Aus [mm] $A^{q}=A^{q-1} [/mm] ~ q [mm] \in \IN [/mm] $ folgt dass das Charak. Polynom muss die Form [mm] $p(t)=t^{n}-t^{n-1}$ [/mm] haben.
mit Cayley folgt [mm] $t^{n}=t^{n-1} \Rightarrow A^{n}=A^{n-1}$
[/mm]
So richtiG?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Sa 09.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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