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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | y' = 1 - [mm] y^2
[/mm]
Anfangswert: y(0) = 0 |
Ich habe hier so angefangen:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = 1 - [mm] y^2
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{1-y^2} [/mm] = [mm] \integral [/mm] dx
[mm] ln|1-y^2| [/mm] = x + c
Passt des so?
Aber wie mach ich hier weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 19.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Nein, das passt nicht, da Du auf der linken Seite falsch integriert hast.
Nehme für den Bruch eine Partialbruchzerlegung vor:
[mm] $$\bruch{1}{1-y^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(1-y)*(1+y)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{1-y}+\bruch{B}{1+y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{B}{y+1}-\bruch{A}{y-1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Aha ok, Partialbruchzerlegung! :-(
Des heisst:
1 = [mm] \bruch{A}{1-y} [/mm] + [mm] \bruch{B}{1+y}
[/mm]
1 = A (1+y) + B * (1-y)
y:1 = 1 = A ( 1 + 1) + 0
A = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
y:0 = 1 = B (-1-1) + 0
B = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Das heisst, wenn ich das jetzt dann integriere kommt folgendes raus, oder nicht?
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |1-y| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |1+y| = x
??
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Hallo andi7987,
> Aha ok, Partialbruchzerlegung! :-(
>
> Des heisst:
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> 1 = [mm]\bruch{A}{1-y}[/mm] + [mm]\bruch{B}{1+y}[/mm]
>
> 1 = A (1+y) + B * (1-y)
>
> y:1 = 1 = A ( 1 + 1) + 0
>
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> y:0 = 1 = B (-1-1) + 0
>
> B = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Das heisst, wenn ich das jetzt dann integriere kommt
> folgendes raus, oder nicht?
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |1-y| - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |1+y| = x
Fast, da steckt ein VZF drin, beachte die innere Ableitung von [mm] $\frac{1}{1-y}$!
[/mm]
Außerdem fehlt rechterhand die Integrationskonstante:
Richtig: [mm] $\frac{1}{2}\ln(|1+y|)\red{+}\frac{1}{2}\ln(|1-y|) [/mm] \ = \ x \ [mm] \red{+ \ C}$
[/mm]
>
> ??
LG
schachuzipus
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