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Nochma Hilfe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 15.12.2003
Autor: Brot

Auch auf die Gefahr, das ich euch nerve.........

ähm folgendes Problem, die (mit Verlaub gesagt: UNFÄHIGE) Lehrerin will das ich diese Aufgabe löse:

In einer Urne befinden sich genau 15 Kugeln, davon 10 rote und 4 weiße Kugel sowie eine schwarze Kugel.

a) Das nacheinander Ziehen ohne Zurücklegen von zwei Kugeln wird wie folgt als Spiel angeboten: Der Einsatz beträgt 3€. Für jede weiße Kugel unter den gezogenen Kugeln werden 3€ ausgezahlt. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln bei zweimahl nacheinander Ziehen. Berechne den durchschn. Gewinn.

b) Ein Spiel ist fair, wenn sich auf lange Sicht Gewinne und Verluste ausgleichen. Ermittle einen Auszahlungsbetrag pro weißer Kugel, sodass das SPiel fair ist

        
Bezug
Nochma Hilfe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Mo 15.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

> Auch auf die Gefahr, das ich euch nerve.........

niemals.

> Lehrerin will das ich diese Aufgabe löse:

Poste uns doch mal deine (Lösungs-) Ideen zu dieser Aufgabe, dann können wir sie gemeinsam lösen. Die Aufgabe ist zwar von fortgeschrittener Schwierigkeit, aber ganz soo schwierig auch nicht.

Ein paar Tipps:
1.) Ermittle die Verteilung der Zufallsvariable X, d.h. die W'keiten dafür, dass man 0, 1 oder 2 weiße Kugeln zieht.

2.) Berechne den Erwartungswert dieser Zufallsvariable.

Bis hoffentlich später,
Marc

PS: Ich bin erst wieder ab ca. 1800 wieder da, aber vielleicht hilft dir ja jemand anderes hier im MatheRaum!


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Nochma Hilfe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mo 15.12.2003
Autor: Brot

Das Problem is: Ich hab so wenig Peilung, das ich noch net ma n Lösungsvorschlag machen kann. Ich verstehs net, letztes JAhr keine Klausur schlechter als 13 Punkte - dieses Jahr, totale Leere.
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Nochma Hilfe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Mo 15.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

zunächst einmal stelle ich fest, dass in der Urne 4 weiße und 11 nicht-weiße Kugeln liegen; dass 1 davon schwarz ist, spielt keine Rolle.

Es wird zwei Mal eine Kugel ohne Rücklegen gezogen, d.h. X kann die folgenden drei Werte annehmen:
X=0
X=1
X=2
Wie kommen nun diese drei Werte zustande?
X=0 erhält man, wenn keine weiße Kugel gezogen wird, also zwei nicht-weiße. Ich notiere diese Kombination mit NN.
X=2 bedeutet: Zwei weiße Kugeln wurden gezogen, also WW
X=1 eine weiße Kugel, also entweder WN oder NW.

Nun zu den W'keiten.

P(X=0) = P({NN}) = [mm]\frac{11}{15}*\frac{10}{14}[/mm]
(im ersten Zug sind 11 von 15 nicht-weiß, im zweiten nur noch 10 von 14.)
P(X=1) = P({WN,NW}) = P({WN})+P({NW}) =[mm]\frac{4}{15}*\frac{11}{14}+\frac{11}{15}*\frac{4}{14}[/mm]
P(X=2) = P({WW}) = [mm]\frac{4}{15}*\frac{3}{14}[/mm]

Ich führe jetzt eine weitere Zufallsvariable Y ein, die statt der Anzahl der weißen Kugeln direkt die Gewinnsumme angibt; diese kann folgende Werte annehmen:
Y=-3 (3 Euro Verlust, falls X=0)
Y=0 (weder Gewinn, noch Verlust)
Y=3 (3 Euro Gewinn)

Offenbar gilt für deren Verteilung:
P(Y=-3) = P(X=0)
P(Y=0) = P(X=1)
P(Y=3) = P(X=2)

Den durchschnittlichen Gewinn ermittlen wir nun mit dem Erwartungswert der Zufallsvariable. Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist einfach die Summe der Produkte von Wert und zugehöriger W'keit:
E(X) = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2)
Hier wird sozusagen jeder Wert (0,1,2) mit der W'keit "gewichtet".
Der Erwartungswert, der hier aber nur interessiert, ist der von Y, denn Y gibt ja den gesuchten Gewinn an; wegen der obigen Überlegungen zur Verteilung von Y gilt:
E(Y) = -3*P(Y=-3) + 0*P(Y=0) + 3*P(Y=3)

In diese Formel mußt du nur noch die oben berechneten W'keiten einsetzen:

[mm]E(Y) = -3*\frac{11*10}{15*14} + 0 + 3*\frac{4*3}{15*14}[/mm]
[mm]=\frac{-3*11*10+3*4*3}{15*14}[/mm]
[mm]=\frac{-1*11*5+1*2*3}{5*7}[/mm]
[mm]=\frac{-55+6}{5*7}[/mm]
[mm]=\frac{-49}{5*7}[/mm]
[mm]=\frac{-7}{5}[/mm]
[mm]=-1{,}40[/mm]

Dies ist der durchschnittliche (der zu erwartende) Gewinn. Da er negativ ist, ist es natürlich ein Verlust. Das Spiel ist also nicht fair.




Nun zu Aufgabenteil b)
Das Spiel ist also fair, wenn E(Y)=0 ist.
Die übliche Vorgehensweise ist hier, dem Auszahlungsbetrag eine Variable zuzuordnen, den Erwartungswert dann in Abhängigkeit von dieser Variablen auszudrücken und dann die Variable so zu wählen, dass E(Y)=0 ist.
Ich nenne die Variable mal g.
E(Y) ist dann:
E(Y) = -3*P(X=0) + (-3+g)*P(X=1) + (-3+2g)*P(X=2)
(die einzelnen Gewinnverteilungen dürften klar sein: Bei X=0 verliert man den Einsatz von 3 Euro, bei X=1 ist der Gewinn -3+g, etc.)
Beachte, dass sich der Einsatz anscheinend nicht geändert hat, sondern immer noch bei 3 Euro liegt.

Wie auch in a), setze ich nun die W'keiten ein:

[mm] E(Y) = -3*\frac{11*10}{15*14} + (-3+g)*\left( \frac{4}{15}*\frac{11}{14}+\frac{11}{15}*\frac{4}{14} \right) + (-3+2g)*\frac{4}{15}*\frac{3}{14}[/mm]
[mm] = \frac{-3*11*10}{15*14} + (-3+g)*\left( \frac{4*11}{15*14}+\frac{11*4}{15*14} \right) + (-3+2g)*\frac{4*3}{15*14}[/mm]
[mm] = \frac{-3*11*10}{15*14} + (-3+g)*\left( \frac{4*11+11*4}{15*14} \right) + (-3+2g)*\frac{4*3}{15*14}[/mm]
[mm] = \frac{-3*11*10+(-3+g)(4*11+11*4)+(-3+2g)*4*3}{15*14} [/mm]
[mm] = \frac{-3*11*10+(-3+g)*2*4*11+(-3+2g)*4*3}{15*14} [/mm]
[mm] = \frac{-3*11*10-3*2*4*11+g*2*4*11-3*4*3+2g*4*3}{15*14} [/mm]
[mm] = \frac{-3*(11*10+2*4*11+4*3)+g*(2*4*11+2*4*3)}{15*14} [/mm]
[mm] = \frac{-3*(110+88+12)+g*(88+24)}{15*14} [/mm]
[mm] = \frac{-3*210+g*112}{15*14} [/mm]
[mm] = \frac{-630+g*112}{15*14} [/mm]

(es ist klar, dass ich die Rechnung unnötig ausführlich gestaltet habe, da ich Brüche mag :-))

Dieser Ausdruck (=E(Y)) muß nun 0 sein, damit das Spiel fair ist:

[mm] \frac{-630+g*112}{15*14} \stackrel{!}{=} 0 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow -630+g*112 =0 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow g*112 = 630 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow g = \frac{630}{112} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow g = 5{,}625 [/mm]

Dieser Gewinn pro gezogene weiße Kugel würde also das Spiel zu einem fairen Spiel machen.

Bei Fragen melde dich bitte wieder...

Viel Erfolg (für die Klausur),
Marc


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