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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Nochmal: Geraden und Ebenen
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Nochmal: Geraden und Ebenen: 3 unbekannte, wie lösen???
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Di 02.11.2004
Autor: sue_a_sight

Hallo,
also ich habe hier eine Gerade:

g:x= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]  

und die Ebene:

E= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 8 \end{pmatrix} [/mm]  + [mm] \lamda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu [/mm]

so...ich habe nun versucht auf die übliche Weise (damit meine ich die vorgehensweise bei 2 normalen geraden) den Schnittpunkt zu erhalten, aber die Ebene hat ja leider 2 Stützvektoren, weswegen das bei mir nicht so klappte...

Es wäre wirklich super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielen Dank euch,
Sue.

        
Bezug
Nochmal: Geraden und Ebenen: Nachfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Di 02.11.2004
Autor: Hanno

Hallo!

Es scheint als habest du einen Vektor hinter dem [mm] $\mu$ [/mm] vergessen. Kannst du den noch nachliefern?

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
        
Bezug
Nochmal: Geraden und Ebenen: der fehlende vektor
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 02.11.2004
Autor: sue_a_sight

Sorry, hier ist nochmals die gesamte Ebenengleichung:

E = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm]  



Bezug
                
Bezug
Nochmal: Geraden und Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Di 02.11.2004
Autor: Paulus

Hallo Sue

du irrst dich: auch die Ebene hat nur einen Stützvektor (= Stützpunkt). Die Ebene hat aber 2 Richtungsvektoren!

Du musst lediglich die Ebenen und die Geradengleichung in die Komponenten aufteilen und dann das entstehende Gleichungssystem lösen.

Die Gerade ist ja diese (ich nehme [mm] $\nu$, [/mm] um nicht mit dem [mm] $\lambda$ [/mm] der Ebenengleichung in Konflikt zu geraten:

[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \nu \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

Die x-Komponente der Gerade ist ja: $2 + [mm] \nu$ [/mm]

Die x-Komponente der Ebene ist hingegen: $1 + [mm] \lambda [/mm] + [mm] 5\mu$ [/mm]

Sollen sich die Gerade und die Ebene schneiden, so müssen beim Schnittpunkt ihre x-Koordinaten übereinstimmen:

$2 + [mm] \nu [/mm] = 1 + [mm] \lambda [/mm] + [mm] 5\mu$ [/mm]

Die gleiche Überlegung gilt für die y- und die z-Komponente.

Somit hast du 3 Gleichungen. Die brauchst du nur nach [mm] $\nu$ [/mm] aufzulösen, und dieses [mm] $\nu$ [/mm] in der Geradengleichung einzusetzen, um den Schnittpunkt zu erhalten.

Postest du uns deinen Rechenweg? :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

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