matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisNochmal Reihen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis" - Nochmal Reihen
Nochmal Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nochmal Reihen: Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 31.05.2005
Autor: Becks

Hallo zusammen :)

Ich habe nochmal ne Frage wegen Reihen. Ich weiß zwar jetzt, was für Kriterien es gibt, aber ich bin mir bei der Anwendung noch nicht so sicher. Ich habe hier nochmal 3 Reihen und die soll ich auf absolute Konvergenz, bedingte Konvergenz und Divergenz untersuchen.

a)
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+(-1)^{n}}{n^{2}+1} [/mm]

b)
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{\vektor{2n \\ n}}{2^{3n+1}} [/mm]

c)
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n+1}} [/mm]


Also meine Ideen wären:
a) die sollte konvergieren, allein wegen dem Nenner. Und ich glaub das müsste mit dem Wurzelkriterium gehen. Oder doch mit dem Majoranten. hmm, ich weiß nicht so Recht wie ich rangehen soll.

b) diese Reihe dürfte auch konvergieren. Denn der Exponent wird sich für größere n immer bemerkbarer machen. da müsste man wieder den Zähler umformen können, damit man ne Aussage treffen kann, aber ich weiß nicht so Recht wie.

c) das sieht mir nach Divergenz aus. Denn der Summand kann ja auch negativ sein für ungerade n. Könnte man das vielleicht mit dem Wurzelkriterium machen? da würde der exponent im zähler wegfallen. Und der Nenner würde auch anders aussehen. Hmm aber sicher bin ich mir auch hier nicht.

Hat man so Reihentypen wo man weiß, aha da ist das "n" im Exponent, da brauch ich das Wurzelkriterium oder kann man das so nicht festmachen.

Schon mal vielen Dank!
Ihr helft mir so sehr, wüsste gar nicht, wie ich das sonst verstehen sollte.
Danke.

        
Bezug
Nochmal Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Di 31.05.2005
Autor: Stefan

Hallo Becks!


> Ich habe nochmal ne Frage wegen Reihen. Ich weiß zwar
> jetzt, was für Kriterien es gibt, aber ich bin mir bei der
> Anwendung noch nicht so sicher. Ich habe hier nochmal 3
> Reihen und die soll ich auf absolute Konvergenz, bedingte
> Konvergenz und Divergenz untersuchen.
>  
> a)
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+(-1)^{n}}{n^{2}+1}[/mm]

Hier hilft das Majorantenkriterium. Die Reihe ist sogar absolut konvergent, denn es gilt:

[mm] $\left| \frac{2+(-1)^n}{n^2+1} \right| \le \frac{3}{n^2}$, [/mm]

und die Reihe $3 [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ [/mm] konvergiert.
  

> b)
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{\vektor{2n \\ n}}{2^{3n+1}}[/mm]

Hier gilt das Quotientenkriterium.

Es gilt:

[mm] $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot 2^3} \right|$. [/mm]

Ist dir das klar?

Beachte bitte:  ${2n [mm] \choose [/mm] n} = [mm] \frac{(2n)!}{(n!)^2}$. [/mm]

Wie sieht es mit

[mm] $\limsup_{n \ro \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] $

aus?

> c)
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n+1}}[/mm]

Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe (bedingt), denn $n [mm] \mapsto \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ [/mm] ist ja eine monoton fallende Nullfolge nichtnegativer reeller Zahlen. Sie konvergiert aber wegen

[mm] $\frac{1}{\wurzel{n+1}} \ge \frac{1}{n+1}$ [/mm]

und der Divergenz der harmonischen Reihe nicht absolut.

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Nochmal Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Di 31.05.2005
Autor: Becks

Hallo,

hmm, das ist dann irgendwie immer verständlich, wenn man den Schritt in die Richtung sieht. Also die a) ist mir klar. Da gibt es ja die Bedingung für das Majorantenkriterium, welches ja erfüllt ist dafür.

bei der b weiß ich nicht so ganz genau wie man das Quotientenkriterium da anwendet. Ich müsste doch dann den Bruch für n+1 durch den Bruch von n teilen. Aber das müsste doch so einen richtig großen Term ergeben. Das sieht so "handlich" aus bei dir. Ich versteh auch nicht, wie man das "2n über n" so umwandelt.

[mm] \pmat{ 2n \\ n } [/mm] = [mm] \frac{2n!}{(n!)^2} [/mm]
das ist mir klar, aber den nächsten Schritt kann ich nicht nachvollziehen

[mm] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot 2^3} \right| [/mm]
Warum kann man das sagen?
Ausgerechnet ist der Nenner größer als der Zähler, also ist es kleiner als 1. Also konvergiert diese Reihe absolut.

bei der c) glaube ich durchzublicken. Also das sie konvergiert sehe ich, aber warum nur bedingt? Hmm, ich bin jetzt total verwirrt. Wenn ne Reihe konvergiert kann ich das nachvollziehen, und Divergenz auch. Aber bei dem bedingten bin ich total überfragt. Warum ist das nur so halb?
[mm] \frac{1}{\wurzel{n+1}} \ge \frac{1}{n+1} [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Nochmal Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Di 31.05.2005
Autor: terrier

en par sachen dazu kann ich dir erklären:
1) der binomialkoeffizientist definiert als(fakultät kennst du ja): [mm] \vektor{n\\k} [/mm] = n fakultät/ k kakültät* (n-k)fakultät , was in deinem fall zu 2n fak\ n fak*(2n-n) fak führt=2n [mm] fak\n [/mm] fak*n fak
2)der betrag ergibt sich einfach indem du das folgeglied für n+1 durch das für n teilst und dann kürzt was zu kürzen geht ,bzw aus 2(n+1) fak =(2n+2)*(2n+1)*n fakultät machst , sodass du auch 2n fakultät kürzen kannst

Bezug
                                
Bezug
Nochmal Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:00 Mi 01.06.2005
Autor: Becks

Hallo;

Rechne ich heute mal nach. Danke ;)
Könnte mir jemand nochmal das mit divergent und bedingt konvergent erklären. Hab da noch so meine Probleme.
Danke für eure Hilfe

Bezug
                                        
Bezug
Nochmal Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Mi 01.06.2005
Autor: Stefan

Hallo Becks!

Eine Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] heißt (bedingt) konvergent, wenn

[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] < + [mm] \infty$. [/mm]

Sie heißt absolut konvergent, wenn

[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| [/mm] < + [mm] \infty$. [/mm]

Eine absolut konvergente Reihe ist offenbar auch (bedingt) konvergent; die Umkehrung gilt nicht, wie das Gegenbeispiel

[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ [/mm]

zeigt. Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (bedingt), aber sie konvergiert nicht absolut, da die harmonische Reihe divergiert.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]