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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f=x^2*e^-^x
[/mm]
Bestimmen sie das Taylorpolynom T3 um X0=0 |
Ableitungen:
[mm] f'(x)=e^-^x*(-x^2+2x)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^-^x*(x^2-4x+2)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^-^x*(-x^2+6x-6)
[/mm]
f(X0)=0
f'(x0)=0
f''(x0)=2
f'''(X0)=-6
Jetzt die Werte in die Taylorfoemel einsetzten:
T3=f(x0)+[(x-x0)/1!] * [mm] f'(x0)+[(x-x0)^2/2!] [/mm] * [mm] f''(x0)+[(x-x0)^3/3!]*f'''(x0)
[/mm]
= 0 + [mm] x^2 [/mm] + [mm] (-x^3)
[/mm]
= [mm] x^2-x^3
[/mm]
Ich hoffe,das mir das Ergebnis auch jemand bestätigen kann,danke.
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Hallo!
> T3=f(x0)+[(x-x0)/1!] * [mm]f'(x0)+[(x-x0)^2/2!][/mm] *
> [mm]f''(x0)+[(x-x0)^3/3!]*f'''(x0)[/mm]
>
> = 0 + [mm]x^2[/mm]
> + [mm](-x^3)[/mm]
> = [mm]x^2-x^3[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut!
Wie schon bei deiner anderen Frage kann man auch dieses Ergebnis mit Hilfe der Reihenentwicklung überprüfen:
[mm] $x^2\exp(-x)=\summe_{n=0}^\infty x^2\cdot\bruch{(-x)^n}{n!}=x^2-x^3+\summe_{n=0}^\infty \bruch{(-x)^{n+2}}{n!}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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