Nochmal gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:20 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Leute,
ich würde mich freue, wenn ich da ein paar Tipps bekäme, aber KEINE vollständige Lösung...
Unser Tutor hat zu der Aufgabe leider nichts gesagt :-(
Ich weiß nicht, wie man das anfängt, nehme aber mal an, dass man wieder die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nehmen muss???
Also es geht nochmal um gleichmäßige Konvergenz:
Für alle [mm] n \in\IN[/mm]setze man
[mm] A_n = \{x\in\ [0, 1] : \mbox{ es gibt ein } r, k\in\IN, k\le n \mbox{ mit } x = r/k \} [/mm]
und definiere [mm] g_n, h_n : [0, 1] \to \IR [/mm] für alle [mm] n \in\IN[/mm] durch
[mm]
g_n(x) = \left\lbrace\begin{matrix}
0 & x \not\in A_n \\
1 & x \in A_n
\end{matrix}
\right.[/mm]
sowie
[mm] h_n(x)= \left\lbrace\begin{matrix}
n² & 1/n+1
Man soll jetzt beweisen, dass [mm] (g_n) [/mm] und [mm] (h_n) [/mm]nicht gleichmäßig konvergieren und zwar ohne folgendes zu benutzen:
Es sei [mm] f_n [/mm] eine Folge Riemann-integrierbarer Abbildungen von a,b nach R, die gleichmäßig gegen eine Abbildung [mm] f_0: [a,b]\to\IR[/mm] konvergiert. Dann ist [mm] f_0 [/mm] wieder Riemann-integrierbar und es gilt
[mm]\integral_a^b f_0(x) dx=\limes \integral_a^b f_n(x) dx[/mm]
Vielen Dank, Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine,
> ich würde mich freue, wenn ich da ein paar Tipps bekäme,
> aber KEINE vollständige Lösung...
Okay. 
> Unser Tutor hat zu der Aufgabe leider nichts gesagt :-(
> Ich weiß nicht, wie man das anfängt, nehme aber mal an,
> dass man wieder die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit
> nehmen muss???
>
>
> Also es geht nochmal um gleichmäßige Konvergenz:
>
> Für alle [mm]n \in\IN[/mm]setze man
>
>
> [mm]A_n = \{x\in\ [0, 1] : \mbox{ es gibt ein } r, k\in\IN, k\le n \mbox{ mit } x = r/k \}[/mm]
>
>
> und definiere [mm]g_n, h_n : [0, 1] \to \IR[/mm] für alle [mm]n \in\IN[/mm]
> durch
>
> [mm]
> g_n(x) = \left\lbrace\begin{matrix}
> 0 & x \not\in A_n \\
> 1 & x \in A_n
> \end{matrix}
> \right.[/mm]
Schauen wir uns erst einmal die Aufgabe bis hierhin an.
Erst einmal bestimmt du den punktweisen Grenzwert dieser Funktionenfolge, also die Funktion:
$g(x):= [mm] \lim\limits_{n \to \infty} g_n(x)$.
[/mm]
Unterscheide dabei die Fälle:
1) $x [mm] \in \IQ\cap [/mm] [0,1]$
2) $x [mm] \in (\IR \setminus \IQ)\cap [/mm] [0,1]$
So, jetzt nimmst du an, [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] würde gleichmäßig gegen diese Funktion $g$ konvergieren. Dann müsste es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] geben, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ folgendes gilt:
[mm] $|g(x)-g_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wähle nun speziell [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{2}$. [/mm] Dann müsste es also ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] geben, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ folgendes gilt:
[mm] $|g(x)-g_n(x)| [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Dann gilt für [mm] $x_0:= \frac{1}{n_0+1}$:
[/mm]
[mm] $|g(x_0) [/mm] - [mm] g_{n_0}(x_0| [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Versuche es mal selber zu Ende zu führen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 So 16.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Mit der anderen Gleichung muss man nun genau so vorgehen nehme ich an???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
Ja, nur dass es hier wesentlich einfacher geht.
Für die (punktweise) Grenzfunktion [mm] $h(x):=\lim\limits_{n \to \infty} h_n(x)$ [/mm] gilt offenbar: $h [mm] \equiv [/mm] 0$. (Warum? Begründe das bitte selber!)
Nun gibt es aber zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] dummerweise ein $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit
[mm] $|h_n(x)-h(x)|= h_n(x)=n^2 [/mm] > [mm] \varepsilon$,
[/mm]
so dass es also kein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] geben kann, für dass
[mm] $|h_n(x) [/mm] - h(x)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ und alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt.
Mist. Oder? Nee: Gott sei Dank, denn das wollten wir ja zeigen! 
Liebe Grüße
Julius
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